11.7. Релаксационные методы

Метод распространения характеристической полосы страдает многими практическими недостатками, в том числе чувствительностью к погрешностям измерения. Необходимо использовать специальные средства, чтобы избежать пересечения соседних характеристик из-за накопления ошибок численного интегрирования дифференциальных уравнений. Этот метод также затрудняет использование информации об ориентации поверхности на ограничивающем контуре. Наконец, он не рассчитан на выполнение параллельным компьютером или машиной

биологического типа. Более желательно было бы иметь итеративную схему, подобную конечно-разностной схеме, используемой для решения эллиптических уравнений второго порядка в частных производных. Это немедленно подсказало бы способы введения граничных условий и другой добавочной информации.

11.7.1. Минимизация в непрерывном случае

Наша цель — найти две функции удовлетворяющие уравнению освещенности изображения , где — карта отражательной способности, выраженная в стереографических координатах. Мы хотим также, чтобы функции соответствовали гладкой поверхности. Из многочисленных способов оценки меры гладкости мы выбираем тот, который «штрафует» быстрые изменения Мы стремимся минимизировать интеграл

где — первые частные производные по х и у. Можно использовать и другие меры отклонения от гладкости. Это приведет к несколько отличным алгоритмам.

До сих пор мы пытались минимизировать при условии, что удовлетворяют уравнению освещенности изображения. На практике как измерение освещенности, так и определение карты отражательной способности содержат ошибки. Вместо того чтобы добиваться равенства функций , можно попытаться минимизировать ошибку

Таким образом, мы должны минимизировать где X — параметр, определяющий вес ошибки в уравнении освещенности изображения по сравнению с отклонением от гладкости. Этот параметр необходимо выбрать большим, если измерения яркости очень точны, и небольшим, если они сильно зашумлены.

Минимизация интеграла вида

является задачей вариационного исчисления (эта тема рассматривается в приложении). Соответствующие уравнения Эйлера имеют вид , где — частная производная . В нашем случае

Цель заключается в минимизации интеграла от Уравнения Эйлера для этой задачи дают , где — оператор Лапласа. Результат представляет собой систему двух эллиптических уравнений в частных производных второго порядка. Ее можно решить итеративными методами, если на границе известны величины

11.7.2. Минимизация в дискретном случае

Мы можем разработать численный метод, либо аппроксимируя непрерывное решение, найденное в предыдущем разделе, либо непосредственно минимизируя дискретный вариант интеграла. Второй подход может больше понравиться читателю, не очень хорошо владеющему вариационным исчислением. Мы можем оценить отклонение от гладкости в точке выражением

а ошибка в уравнении освещенности изображения задается выражением , где — наблюдаемая освещенность изображения в точке решетки Мы ищем набор значений минимизирующих выражение

Дифференцируя по получим где — локальные средние

Необходимо быть внимательным при выполнении этого дифференцирования, так как появляются в четырех членах суммы; во избежание путаницы с индексами и встречающимися в сумме, вводятся новые индексы .

Экстремум надо искать там, где производная равна нулю. Если мы перепишем результирующие уравнения, разрешив их относительно , то итеративный метод напрашивается сам собой: где новые значения и в каждой точке сетки получены из старых значений и оценок Можно показать, что метод получается устойчивым, если мы используем локальные средние при вычислении и двух частных производных при задании хороших граничных условий и достаточной малости X.

Описанную выше простую итеративную схему можно улучшить различными способами. Например, оценку лапласиана от пропорциональную можно заменить более точной формулой. Тогда локальное среднее вычисляется следующим образом:

Рис. 11. 10. Изображение небольшой капли смолы на цветке растения Cannabis sativa. Воспроизведено с разрешение автора из работы [93].

вычисляется аналогично). Вычисление среднего можно представить маской

которая непосредственно выводится из аналогичной матрицы, используемой ранее для аппроксимации оператора Лапласа.

На рис. 11.10 представлено изображение капли смолы, полученное с помощью электронного сканирующего микроскопа. Для использования итеративной схемы восстановления формы по полутонам мы должны знать карту отражательной способности. Обычно используемая модель вторичной электронной эмиссии с поверхности предполагает, что яркость должна изменяться как секанс угла падения, т. е. Используя эту модель, мы получим форму, представленную на рис. 11.11.

11.7.3. Применение к стереофотометрии

Величины градиентов, вычисленные в соседних точках изображения с помощью стереофотометрического метода, не всегда совместны. Даже в случае плоской поверхности возможны флуктуации в оценке ориентации поверхности из-за ошибок измерения. Если известно, что поверхность гладкая, мы можем использовать метод, рассмотренный в этой главе, для улучшения результатов стереофотометрического метода.

Рис. 11.11. Игольчатая диаграмма, вычисленная по итеративной схеме при предположении, что отражательная способность пропорциональна

Данные об ориентации поверхности получены на самом деле на более мелкой сетке; здесь для простоты демонстрации они представлены в грубой форме. Игольчатая диаграмма является оценкой формы поверхности капли смолы, показанной на предыдущем рисунке. (Рисунок любезно предоставлен Катцуши Икехи.)

Если имеется изображений, мы можем сформулировать эту задачу как задачу минимизации выражения

где Е — яркость, измеренная на изображении, — соответствующая карта отражательной способности. Постоянные множители — это параметры, задающие вес ошибок уравнений освещенности изображений по отношению к отклонению от гладкости. Они не равны между собой, если не вся информация, полученная с помощью камер, одинаково надежна.

Уравнения Эйлера в этом случае принимают вид

Соответствующие дискретные уравнения приводят к итеративной схеме

Простой стереофотометрический метод, рассмотренный в предыдущей главе, можно использовать для получения хороших начальных значений для и Это гарантирует быструю сходимость к решению.