случае матрица В квадратная. Если она имеет обратную матрицу, то 
Допустим, что мы имеем большее число измерений. Тогда задача переопределена, так как число уравнений превышает число неизвестных. Определим 
-мерный вектор рассогласования 
Объединяя к таких векторов, получаем 
. Сумма квадратов рассогласований составляет
или
или
Таким образом,
Если это выражение приравнять нулю, то будем иметь 
т. е. 
(Выражение 
) называется псевдообратной матрицей к прямоугольной матрице В.
С другой стороны, когда число уравнений меньше числа неизвестных, задача не определена. Тогда имеется бесконечное множество решений. В этом случае псевдообратная матрица дает решение с минимальной нормой, однако вычислять ее нужно по-другому. Матрицу, псевдообратную к В, можно определить в виде предела
Иной способ определения основывается на условиях Пенроуза [4], которые утверждают, что матрица 
является псевдообратной к матрице В тогда и только тогда, когда
Псевдообратную матрицу можно также получить с помощью спектрального разложения. Ее собственные векторы совпадают с собственными векторами исходной матрицы, в то время как ненулевые собственные значения равны обратным собственным значениям исходной.
где М — матрица размером 
а — вектор с 
компонентами, 
вектор с 
компонентами. Допустим, в нашем распоряжении имеется 
измерений 
и мы хотим вычислить матрицу М. Образуем матрицы А и В, объединяя соответственно наборы векторов 
(То есть 
столбец матрицы А есть 
Тогда 
. В данном
