6.14. Модели изображений

Чтобы использовать методы оптимальной фильтрации, нам необходимо оценить энергетические спектры обрабатываемых изображений. Изучение спектров нескольких «типичных» изображений быстро убедит вас в том, что основная часть энергии приходится на низкие частоты. Полезно знать о таком затухании энергии с ростом частоты, поскольку это помогает отделить требуемый сигнал от шума, имеющего плоский спектр. Наблюдаемое уменьшение энергии с ростом частоты частично обусловлено тем фактом, что многие объекты или их части непроницаемы и обладают почти равномерной яркостью. Соответствующие участки изображения отделяются перепадами яркости вдоль тех краев, где объекты загораживают друг друга.

Подробное обсуждение моделей изображения выходит за рамки настоящей книги, однако основную идею можно уловить, рассматривая простой прямоугольный участок:

Преобразование Фурье такой функции имеет вид Сдвиг участка приводит к изменению лишь фазы, а не амплитуды преобразования. Не обращая внимания на колебания, мы видим, что преобразование затухает как Таким образом, в зависимости от выбора направления в частотной области, затухание будет пропорционально либо либо где — расстояние от начала координат.

Другой полезной составной частью модели изображения мог бы стать круговой участок

В этом случае преобразование описывается функцией

При больших значениях аргумента функция изменяется по закону поэтому если пренебречь колебаниями, то с ростом убывает как

Энергетические спектры моделей изображений, содержащих многоугольные или круговые участки, как правило, затухают пропорционально некоторой степени частоты. На высоких частотах реальные изображения затухают еще сильнее, что обусловлено ограничением разрешающей способности системы. Например, в телескопах существует абсолютная верхняя граница частоты (определяемая отношением диаметра апертуры к длине световой волны), выше которой волны вообще не пропускаются. Микроскопам свойственно аналогичное абсолютное ограничение, определяемое числовой апертурой объектива и длиной световой волны.

Другое приложение того обстоятельства, что основная часть энергии изображений приходится на низкие частоты, можно найти в сфере воспроизведения изображений. Способы воспроизведения изображений, например полутоновая печать, фоторепродукция и телевидение, имеют ограниченный динамический диапазон, т. е. с их помощью можно воспроизвести лишь ограниченный диапазон уровней яркости. Если говорить о качестве воспроизведения, то нас прежде всего интересует отношение самого яркого уровня к самому темному. При воспроизведении изображений важна различимость небольших перепадов яркости. Даже значительные перепады яркости между соседними областями могут оказаться незаметными, если сами области очень ярки. Важна относительная величина перепада, т. е. отношение разности яркостей к меньшей из них. Именно поэтому динамический диапазон измеряется отношением самого яркого уровня к самому темному, а не их разностью.

Динамический диапазон цветных диапозитивов может достигать более ста к одному, тогда как газетной печати — обычно не более десяти к одному. Естественные изображения, как правило, имеют большие динамические диапазоны. При их воспроизведении часто приходится идти на компромисс. Обычно если мы пытаемся поддерживать неизменными средние значения яркости, то самые яркие и самые темные участки будут воспроизведены неточно. Чтобы из-за насыщения не утратить деталей на сильно освещенных и затененных участках, динамический диапазон необходимо сжать.

Подобное сжатие можно осуществить с помощью показательной функции. Если яркость репродукции описывается функцией а оригинала — функцией то где Так репродукция в общем оказывается приемлемой, хотя легкоразличимые перепады яркости на оригинале будут незаметны на репродукции.

Другой подход состоит в использовании того обстоятельства, что изображения, как правило, содержат обширные низкочастотные участки. Фильтр, подавляющий низкие частоты, можно построить путем вычитания из изображения его сглаженной копии. В большинстве случаев

такой фильтр будет сужать динамический диапазон. Примером служит фильтр с функцией рассеяния точки

при Его передаточная функция имеет вид

Можно применять и другие сглаживающие функции. Фотографический метод достижения подобного эффекта называется мягким маскированием. Здесь из оригинала частично «вычитается» расфокусированное изображение. Заметьте, что в этом случае резкие края воспроизводятся с полным контрастом. Однако мы должны осторожно использовать этот процесс, поскольку значения яркости смещаются от своего нормального уровня, в результате чего на изображениях объектов могут возникнуть ложные изменения. Как мы увидим позже, значения яркости используются, например, при восстановлении формы поверхности.