7.6. Некоторые полезные правила

Некоторые из полученных нами результатов можно свести в небольшую таблицу:

Таблица справедлива в обоих направлениях. Например, преобразование Фурье периодической функции дискретно, а функция, фурье-образ которой дискретен, периодична. Более того, столбцы можно поменять местами, т. е., в частности, фурье-образ дискретной функции — периодическая функция, а функция с периодическим образом дискретна. Имеется и много других подобных полезных соотношений.

Если мы уменьшаем масштаб в одной области, то во столько же раз увеличиваем его в другой, так что произведение соответствующих единиц измерения остается неизменным. Например, произведение ширины гауссова распределения в пространственной области на ширину его преобразования Фурье в частотной области есть величина постоянная.

Функция имеет конечный носитель, если она отлична от нуля в ограниченной области. Доказано, что носитель преобразования Фурье функции с конечным носителем не может быть конечным.