6.3. Передаточная функция

Свертку представить гораздо труднее, чем результат произведения двух функций. Поскольку при переходе от пространственной к частотной области свертка преобразуется в произведение, то в случае линейных пространственно-инвариантных систем переход к частотной области выглядит привлекательным. Однако, прежде чем развивать эти идеи, мы должны понять, что такое частота применительно к двумерным системам.

В случае одномерных линейных пространственно-инвариантных систем легко убедиться в том, что функция — собственная функция оператора свертки. Собственной функцией системы называется функция, которая воспроизводится системой, возможно, с изменением амплитуды:

Здесь представляет собой (возможно, комплексный) множитель, на который умножается входной сигнал. Таким образом, если на вход линейной пространственно-инвариантной системы подать сигнал в виде экспоненциальной комплекснозначной функции, то на выходе получим аналогичный по форме сигнал, умноженный на некоторый коэффициент и сдвинутый по фазе. Величина называется частотой собственной функции. На практике употребляются действительные синусоидальные сигналы, например и соответствующие действительной и мнимой частям функции Естественно, связь между двумя подобными представлениями имеет вид Комплексная форма записи используется при выводе результатов, так как при этом выражения принимают более компактный вид и отпадает необходимость рассматривать косинусы и синусы отдельно.

В двумерной линейной пространственно-инвариантной системе входной сигнал приводит к появлению на выходе сигнала

или

Подынтегральное выражение в правой части зависит лишь от и и следовательно, выходной сигнал — это просто умноженный на некоторый масштабный множитель и, возможно, сдвинутый по фазе входной сигнал Таким образом, — собственная функция свертки в двумерной системе

Заметьте, что теперь частота содержит две компоненты к и с. О плоскости мы будем говорить как о частотной области в противоположность плоскости которая представляет собой пространственную область.

Волнам в пространстве двух измерений соответствуют действительные синусоидальные гармоники Максимумы и минимумы функции лежат на параллельных равноудаленных гребнях вдоль прямых их где — целое число (рис. 6.3). Если провести сечение рассматриваемой поверхности под

Рис. 6.3. (см. скан) Комплекснозначные экспоненциальные собственные функции двумерной линейной пространственно-инвариантной системы. Их действительные составляющие представляют собой волны с выделенным направлегшем, вдоль которого они постоянны. Сечения, подобные выбранному вдоль линии А — А, являются синусоидальными.

прямым углом к этим прямым, т. е. в направлении то получим синусоидальные гармоники с длиной волны . В чистом виде подобные гармоники в зрительной системе возникнуть не могут, поскольку яркость не бывает отрицательной. Обязательно произойдет смещение на некоторую постоянную величину.

Если положить

то в том специальном случае, рассматриваемом до сих пор, будем иметь - это видно из приведенного ранее интеграла. Таким образом, функция характеризует реакцию системы на синусоидальные сигналы, точно так же как функция — на импульсные сигналы. Для каждого значения частоты эта функция позволяет определить амплитуду и фазу реакции системы. В случае двумерной системы ее называют передаточной функцией. Она представляет собой частотную реакцию двумерной системы на гармонический сигнал и, следовательно, аналогична известной частотной реакции одномерной системы на гармонический сигнал. (Следует иметь в виду, что функция не обязана быть действительной.)

Точно так же, как о качестве звукового усилителя можно судить по его частотной характеристике, о качестве линз камеры можно, например, судить, сопоставляя графики их передаточных функций.