6.10. Размывание, расфокусировка и скоростной смаз

В обычной зрительной системе оказывается, что лучи, которые в идеальных условиях должны были бы фокусироваться в одной точке, в действительности немного расходятся. Такое «размывание» изображения может принимать различные формы, однако иногда его можно смоделировать гауссовой функцией рассеяния точки, нормированной на единичный объем:

Поскольку эта функция зависит от а не по отдельности от х или у, она обладает круговой симметрией. Преобразование Фурье для нее можно вычислить с помощью формулы Ганкеля.

Однако заметим, что функция Гаусса распадается на произведение двух функций от х и от у. Поэтому другой подход может оказаться менее трудным:

Первый интеграл в правой части равен

Рис. 6.8. Эквивалентность расфокусировки изображения и его свертки с функцией, обладающей круговой симметрией.

График последней ограничивает единичный объем и напоминает цилиндрическую коробочку.

Поэтому в итоге получаем, как и должно быть функцию с круговой симметрией:

Мы видим, что низкие частоты проходят непогашенными, в то время как высокие частоты уменьшаются по амплитуде, это особенно заметно у частот выше примерно . Но — характерный размер исходной функции рассеяния точки, следовательно, чем больше величина размывания, тем ниже подавляемые частоты. Это пример обратной зависимости между изменениями масштабов в пространственной и частотной областях. В самом деле, если — характерный радиус пятна в пространственной области, — его размер после преобразования, то — величина постоянная.

Один из способов размывания изображения заключается в его расфокусировке (рис. 6.1). В этом случае функция рассеяния точки представляет собой небольшую цилиндрическую коробочку, в чем можно убедиться, если рассмотреть конус лучей, проходящих через линзу, с вершиной в фокусе. (Эта точка не принадлежит плоскости изображения, а находится несколько впереди или сзади от нее.) Плоскость изображения пересекает этот конус по окружности. Внутри нее яркость постоянна (рис. 6.8), и, следовательно, мы имеем

Здесь где — диаметр линзы; — расстояние от линзы до точки точной фокусировки, - смещение плоскости изображения. Мы можем применить преобразование Ганкеля и получить формулу

к которой используется упоминавшееся ранее соотношение

При этом снова низкие частоты проходят свободно, а верхние срезаются по амплитуде, причем некоторые вообще не пропускаются. Другие инвертируются, поскольку функция колеблется около нуля. На частотах, для которых как мы видим, светлые участки расфокусированного изображения совпадают с темными участками идеального изображения и наоборот. Компоненты изображения с частотами, для которых гасятся полностью. Такие компоненты невозможно восстановить по расфокусированному изображению. Как упоминалось выше, первый нуль функции появляется при . Мы снова наблюдаем обратную зависимость между пространственной и частотной областями, поскольку теперь мы имеем т. е., чем больше радиус расфокусировки тем меньше частота при которой

Другой тип ухудшения изображения обусловлен движением. При этом может двигаться как зрительная система, так и наблюдаемые объекты. В обоих случаях точка на изображении смазывается, превращаясь в черточку. Допустим для удобства, что движение происходит вдоль оси х, а длина черточки равна . Тогда функцию рассеяния точки можно представить в виде произведения где, как и ранее, и — единичная ступенчатая функция. Здесь функция рассеяния точки не обладает круговой симметрией. Ее преобразование Фурье можно найти следующим образом:

или

так что

Вывод легко распространяется на движение в произвольном направлении. И вновь нижние частоты пбчти не затрагиваются, тогда как высокие гасятся. Сигналы на некоторых частотах инвертируются, а те, для которых где к — целое число, полностью подавляются. Те сигналы, у которых гребень волны параллелен направлению движения, естественно, остаются без изменения.