16. Расширенные сферические образы

Вопросы представления играют в машинном зрении чрезвычайно важную роль. В этой главе мы рассмотрим один конкретный способ представления формы объекта. Расширенные сферические образы оказываются полезными в таких задачах, как распознавание и определение положения объекта в пространстве. Их легко вычислить с помощью игольчатых диаграмм, получаемых стереофотометрическим методом, или карт глубины, получаемых методом бинокулярного стереозрения. Чтобы ввести указанное понятие, мы сначала опишем просто сферический образ и дадим определение гауссовой кривизны. Для манипулирования подобного рода информацией с помощью компьютера ее необходимо дискретизировать. Гистограмма ориентации представляет собой дискретный аналог расширенного сферического образа. Мы обсудим различные способы разбиения поверхности единичной сферы на ячейки, необходимые для построения гистограммы ориентации.

Здесь же приведено несколько примеров расширенных сферических образов. Особенно просто их получить для тел вращения. В упражнениях разбирается двумерный аналог расширенного сферического образа (расширенный круговой образ). Этот способ представления используется при анализе и обработке плоских кривых. Вводятся также два новых понятия, играющие важную роль при отождествлении экспериментально полученной гистограммы ориентации с прототипом, хранящимся в памяти ЭВМ: опорная функция и сумма двух объектов. Более детально проблемы отождествления и определения положения объекта в пространстве изучаются в гл. 18, в которой описывается система, разбирающая навал.

16.1. Выпуклые многогранники

Чтобы распознавать объекты и определять их положение в пространстве, необходимо иметь способ, позволяющий представлять форму их поверхностей. Одна из возможностей состоит в задании расстояний до поверхностей, измеренных вдоль лучей, соответствующих каждому элементу изображения. Такое представление называется картой глубины. Именно такого вида описание поверхности получается с помощью дальномеров. К сожалению, при повороте объекта эти расстояния

Рис. 16.1. Расширенный сферический образ многогранника, представляющий собой совокупность импульсов на единичной сфере. Каждой грани соответствует импульс с весом, равным ее площади, который располагается на сфере гак, что касательная к сфере в этой точке параллельна грани. Для облегчения понимания рисунка каждому импульсу на сфере придана форма соответствующей ему грани кубооктаэдра. Импульсы на другой стороне сферы не показаны.

преобразуются не так просто, как того хотелось бы. Альтернативой служит задание ориентации для точек поверхности, соответствующих каждому элементу изображения. Такое представление называется игольчатой диаграммой. Стереофотометрия дает описание поверхности в подобной форме. Однако и этот способ представления оказывается не особенно удобным, когда сравнивают поверхности объектов, которые можно поворачивать относительно друг друга.

С другой стороны, расширенный сферический образ позволяет легко справляться с изменениями положения объекта в пространстве. Хотя, как оказывается, часть информации при переходе к расширенному сферическому образу пропадает, любопытно отметить тот факт, что по крайней мере для выпуклых объектов это представление единственно, т. е. никакие два выпуклых объекта не имеют одинаковые расширенные сферические образы.

Начнем наше обсуждение с объектов, обладающих плоскими гранями. Минковский доказал, что выпуклый многогранник полностью определяется площадью и ориентацией своих граней. В связи с этим мы напомним определение гауссовой сферы, которое было дано в гл. 10 и 11 при изученйи карты отражательной способности. Вообразим, что мы берем единичный вектор нормали к плоскости каждой грани и переносим его так, чтобы его «хвост», постоянно рроходил через центр единичной сферы. Тогда «макушка» нормали лежит на поверхности сферы. Каждая точка такой гауссовой сферы отвечает определенной ориентации элемента поверхности. Расширенный сферический образ получается путем приписывания каждой точке сферы веса (массы), равного площади соответствующей грани многогранника (рис. 16.1).

Поскольку положения нормалей на поверхности при таком отображении становятся неизвестными, на первый взгляд кажется, что здесь

Рис. 16.2. Распределения массы на сфере, которые полностью сосредоточены по большому кругу, не отвечают никаким ограниченным фигурам. Их можно рассматривать как пределы расширенных сферических образов семейства цилиндрических объектов, которые становятся все длиннее и длиннее и в то же время все уже и уже.

теряется часть информации. Кроме того, утрачивается информация о том, с какими гранями соприкасается каждая грань. Тем не менее можно доказать, что (с точностью до сдвига) расширенный сферический образ определяет единственный выпуклый многогранник. Недавно были разработаны итеративные алгоритмы восстановления выпуклого многогранника по его расширенному сферическому образу.

Распределения массы, полностью сосредоточенной на большом круге единичной сферы, отвечают бесконечно длинным и бесконечно узким цилиндрам (рис. 16.2). Такие патологические случаи будут исключены из дальнейшего рассмотрения.

Отметим некоторые важные свойства расширенного сферического образа. Во-первых, легко видеть, что суммарный вес расширенного сферического образа — это просто-напросто общая площадь поверхности многогранника. Далее, если многогранник замкнутый, то при его наблюдении с двух взаимно противоположных направлений площадь проекции будет одной и той же. Как можно показать, из этого следует, что

Рис. 16.3. а — расширенный сферический образ многогранника, представляемый в виде модели ежа, в которой каждый вектор имеет длину, пропорциональную площади грани, и направление, параллельное нормали к ней; б — в случае замкнутой поверхности многогранника эти векторы при их последовательном соединении должны образовать замкнутую фигуру.

Рис. 16.4. Образом точки поверхности при сферическом отображении служит точка на единичной сфере, в которой! ориентация нормали та же самая.

центр масс расширенного сферического образа находится в начале координат. Эквивалентное представление, называемое моделью ежа, является пучком векторов, параллельных нормалям к поверхности, причем длины этих векторов равны площадям соответствующих граней (рис. 16.3). Результат, касающийся положения центра масс, эквивалентен утверждению о том, что сумма векторов модели ежа должна быть равна нулю.

Теперь рассмотренные понятия будут обобщены на случай гладких криволинейных поверхностей.