15.2. Восстановление трехмерных структур

Пусть дан линейный рисунок многогранника, требуется определить соответствующую трехмерную структуру. Интересно, что хорошие подходы к решению этой задачи уже найдены, в то время как мы все еще боремся с задачей получения прежде всего хорошего линейного рисунка! Каждая вершина лежит на луче, определяемом соответствующим пересечением линий на рисунке. Но неизвестно, где именно на луче лежит эта вершина. Поэтому определение расположения вершин на трехмерном изображении требует нахождения расстояний до каждой из них.

Если все грани треугольные, то первоначальная задача определения расстояний до вершин не упрощается, так как все вершины можно свободно двигать вдоль своих лучей. Если у грани четыре стороны (и, следовательно, четыре вершины), то на расстояния до вершин появляется ограничение, связанное с тем, что все вершины принадлежат одной

плоскости. Пусть четыре вершины имеют координаты Тогда вершина должна лежать на плоскости, определяемой вершинами . Другими словами, объем параллелепипеда со сторонами равен нулю, т. е. или где тройное произведение равно . Если предположить, что изображение получено с помощью центральной проекции, то , где расстояния до точек, векторы до известных точек изображения.

Рассмотренные выше ограничения можно записать в виде Это уравнение линейно относительно величин, обратных расстояниям. Коэффициенты определяются по координатам точек на плоскости изображения.

Таким образом, грань с четырьмя сторонами задает одно ограничение на четыре неизвестных расстояния. Аналогично грань с сторонами дает ограничения. Общее число ограничений составляет , где — число граней, — число вершин, принадлежащих грани. Число неизвестных равно общему числу вершин Заметим, что это не равно так как некоторые вершины могут находиться одновременно на нескольких гранях.

Для примера посмотрим на куб из точки, расположенной на линии, связывающей его центр с одним из его углов. Будут видны три грани, каждая с четырьмя вершинами. Вместе они дают три ограничения. К сожалению, неизвестных будет семь, поскольку видимыми оказались семь вершин. Известно, что мы не можем определить абсолютное расстояние до куба по единственному изображению, и потому мы могли бы, например, зафиксировать одно из этих расстояний. Однако нам все еще недостает трех ограничений. Существует ли положение, когда изображение обеспечивает все ограничения?

Отвечаем: нет. Мы можем показать, что . Это безусловно верно для простого многоугольника с сторонами. Если соединить вместе два многоугольника со сторонами так чтобы одна сторона у них была общая, то новая фигура будет иметь на две вершины меньше, чем сумма вершин обеих фигур. Поскольку , то верхнее неравенство выполняется.

Теперь предположим, что проведена линия, пересекающая многоугольник с сторонами и разбивающая его на два многоугольника со сторонами соответственно. Число вершин у них будет такое же. Теперь и поскольку ), то неравенство снова выполняется.

У нас всегда по крайней мере на три неизвестных больше, чем

ограничений. Однозначное решение невозможно без дополнительной информации, например длины некоторых сторон, углов между ними или положения плоскости, в которой лежат некоторые из вершин.

Между прочим, тот факт, что система уравнений недоопределена, не является гарантией того, что она совместна. Например, если две грани имеют два общих ребра, мы получим две пары уравнений, которые несовместны, если только эти два ребра неколлинеарны. Здесь единственная возможность заключается в том, что две грани компланарны, и в этом случае у них нет различия в яркости. Конфигурации линий, которые не соответствуют объектам, состоящим из плоских граней, ведут к более тонким несоответствиям.