2.5.2. Случайность и шум

Трудно точно измерить яркость изображения. В этом разделе мы рассмотрим искажения изображения, вызванные шумом. Для этого нам придется ввести понятие случайной величины и плотности распределения вероятности. Пользуясь благоприятным моментом, мы введем также понятие свертки для одномерного случая. В дальнейшем оно нам встретится снова, но уже применительно к двумерным изображениям. Читатель, знакомый с указанными понятиями, может данный раздел пропустить.

На результаты измерений влияют флуктуации в измеряемом сигнале. При повторном измерении результаты могут оказаться несколько другими. Обычно они располагаются около «истинного» значения. Мы можем говорить о вероятности попадания результата измерения в определенный интервал. Грубо говоря, она соответствует пределу отношения числа измерений, попадающих в этот интервал, к общему числу испытаний при стремлении последнего к бесконечности. (Такое определение не совсем корректно, поскольку каждая

Рис. 2.9. а — гистограмма, показывающая, какое число отсчетов попадает в каждый интервал измерений из принятой последовательности интервалов. По мере возрастания плотности отсчетов эти интервалы можно сделать все меньше и меньше при условии сохранения точности каждого из индивидуальных измерений; переход гистограммы (в пределе) в непрерывную функцию, называемую плотностью распределения вероятности.

конкретная серия испытаний может приводить к результатам, которые не стремятся к ожидаемому пределу. В то же время маловероятно и то, что они будут слишком далеки от него. В действительности вероятность получения предела, отличного от требуемого, равна нулю.)

Теперь мы можем определить плотность распределения вероятности, обозначаемую через Вероятность того, что случайная величина будет больше или равна х, но меньше стремится к при стремлении к нулю. (Здесь имеется трудность, заключающаяся в том, что для фиксированного числа испытаний число результатов, попавших в интервал, будет стремиться к нулю при стремлении интервала к нулю. Ее можно обойти путем рассмотрения функции распределения вероятности, введенной ниже.) Плотность распределения можно приближенно найти на основе гистограммы, полученной на основе конечного числа испытаний (рис. 2.9). Из нашего определения следуют два важных свойства для любой плотности распределения вероятности

Часто плотность распределения вероятности имеет ярко выраженный пик вблизи «истинного» или «ожидаемого» значения. Соответственно мы можем определить среднее как центр площади этого пика согласно соотношению

Поскольку интеграл функции от минус до плюс бесконечности равен единице, то

Интеграл справа называется первым моментом функции

Далее, чтобы оценить ширину всплеска плотности распределения вероятности берется второй момент относительно среднего, называемый дисперсией:

Квадратный корень из дисперсии, называемый стандартным отклонением, является удобной мерой ширины распределения.

Другое полезное понятие — функция распределения вероятности

указывающая на вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее или равное х. Плотность распределения является просто производной от функции распределения вероятности. Необходимо отметить, что

Один из методов увеличения точности состоит в усреднении нескольких измерений в надежде, что их «шумовые» составляющие окажутся независимыми и будут иметь тенденцию к взаимной компенсации. Для понимания работы этого метода необходимо умение вычислять плотность распределения суммы нескольких случайных величин.

Пусть х — сумма двух независимых случайных величин — их плотности распределения вероятности. Как найти плотность распределения вероятности Мы знаем, что при данной величине для того, чтобы величина х лежала в пределах между величина должна лежать в пределах между (рис. 2.10). Вероятность этого события равна Величина может принимать спектр значений, а вероятность того, что она попадет в интервал между равна просто Для нахождения вероятности того, что величина х лежит в интервале между мы должны проинтегрировать произведение этих Вероятностей по всем значениям Таким образом,

Рис. 2.10. Плотность распределения вероятности суммы двух независимых случайных величин есть свертка плотностей распределения вероятности упомянутых двух величин. Это можно показать интегрированием произведения индивидуальных плотностей вероятности внутри узкой полосы, - заключенной между прямыми

Точно так же можно показать, что

где роли поменялись местами. Это соответствует двум способам интегрирования вероятностей внутри узкой диагональной полосы (рис. 2.10). В обоих случаях мы говорим о свертке двух распределений записываемой в виде

Только что было показано, что операция свертки коммутативна.

В упражнении 2.16 будет показано, что среднее суммы нескольких случайных величин равно сумме средних и что дисперсия суммы равна сумме дисперсий. Поэтому если вычислить среднее независимых измерений

каждое из которых имеет среднее и стандартное отклонение а, то среднее результата также равно в то время как стандартное отклонение равно поскольку дисперсия суммы равна Тем самым мы получаем более точный результат в том смысле, что он меньше

подвержен «шуму». Однако относительная точность улучшается лишь как квадратный корень из числа измерений.

Большое практическое значение имеет нормальное, или гауссово, распределение вероятности

со средним и стандартным отклонением а. Во многих измерительных процессах шум достаточно хорошо можно моделировать с помощью подобного распределения.

До сих пор мы имели дело со случайными величинами, которые принимали значения из непрерывного диапазона. Аналогичные методы применяются и в том случае, когда допустимые значения берутся из дискретного множества. Рассмотрим число освобождаемых электронов при бомбардировке фотонами соответствующего материала в течение фиксированного отрезка времени. Каждое такое событие независимо от остальных. Можно показать, что вероятность освобождения точно электронов за интервал времени Т составляет

при некотором значении . Это — распределение Пуассона. Среднее число электронов, освобождаемых за время Т, вычисляется следующим образом:

Но

следовательно среднее просто равно . В упражнении 2.18 доказывается, что дисперсия также равна . Поэтому стандартное отклонение равно , следовательно, отношение стандартного отклонения к среднему равно . Чем дольше мы ждем, тем точнее становятся результаты измерений, поскольку при этом учитывается все большее число электронов. Однако снова отношение «сигнал — шум» улучшается лишь как квадратный корень из среднего числа зарегистрированных электронов.

Для получения достоверных результатов необходимо зарегистрировать

большое число электронов. Можно показать, что распределение Пуассона со средним при больших значениях практически совпадает с гауссовым распределением со средним и дисперсией т. Обычно с гауссовым распределением работать удобнее. В любом случае для получения стандартного отклонения, составляющего одну тысячную часть от среднего значения, необходимо подождать настолько долго, чтобы суметь зарегистрировать миллион электронов. Все же это совсем небольшой заряд, поскольку заряд одного электрона составляет Кл.

Даже миллион электронов имеют заряд лишь около (фемтокулонов). (Приставка фемто обозначает множитель, равный Ввиду подверженности измерительного процесса помехам измерить столь малый заряд не так просто.

Число электронов, освобождаемых с площади за время , составляет

где — квантовый выход, а — освещенность, выражаемая числом фотонов, отнесенных к единице площади. Для получения приемлемого результата электроны необходимо собрать с конечной площади изображения за конечный отрезок времени. Таким образом, существует компромисс между (пространственно-временной) разрешающей способностью и точностью.

Измерение числа электронов, освобождаемых с малой площадки за фиксированный интервал времени, приводит к результату, который пропорционален освещенности (при заданном спектральном распределении падающих фотонов). Чтобы измерения можно было считать в цифровую ЭВМ, они квантуются. Квантование выполняется аналого-цифровым преобразователем (АЦП). Результат называется полутоновым уровнем. Поскольку трудно измерить освещенность с большой точностью, для представления уровней освещенности разумно использовать небольшой набор градаций. Часто используется диапазон требующий лишь 8 бит для представления любого уровня.