2.1. Два аспекта формирования изображения

Прежде чем анализировать изображение, необходимо понять, как оно формируется. Изображение представляет собой двумерную картину распределения яркости. Вопрос о том, как в оптической зрительной системе возникает эта картина, лучше всего изучать, разбив его на две части: сначала необходимо найти соответствие между точками сцены и точками изображения, а затем выяснить, от чего зависит яркость в каждой конкретной точке изображения.

2.1.1. Центральная проекция

Представим себе камеру с точечным отверстием, расположенную на фиксированном расстоянии от плоскости изображения (рис. 2.1). Предположим, что камера устроена так, что только свет, проходящий через отверстие, может достичь плоскости изображения. Поскольку свет распространяется прямолинейно, каждой точке изображения отвечает направление, определяемое лучом, идущим из этой точки через отверстие. В результате возникает хорошо знакомая центральная (перспективная) проекция.

Рис. 2.1. (см. скан) Камера с точечным отверстием, которая дает изображение, являющееся центральной проекцией.

Удобно пользоваться системой координат, в которой плоскость ху параллельна плоскости изображения, а начало координат совпадает с точечным отверстием О. Ось z направлена вдоль оптической оси.

В этом упрощенном случае определим оптическую ось как перпендикуляр, опущенный из отверстия на плоскость изображения. Теперь мы можем ввести удобную декартову систему координат с началом в точечном отверстии и осью совпадающей с оптической осью и направленной в сторону изображения. При таком выборе направления оси точки, находящиеся перед камерой, имеют отрицательную -координату. Несмотря на этот недостаток, будем придерживаться принятого соглашения, поскольку благодаря ему мы располагаем удобной правой системой координат (с осью х, направленной вправо, а осью у — вверх).

Нам нужно определить положение образа некоторой точки Р находящегося перед камерой объекта (рис. 2.1). Будем считать, что никакой другой объект не пересекает луч, идущий из точки Р в точку О. Пусть — вектор, соединяющий О с Р, а — вектор, соединяющий О с Р. (Как указано в приложении, векторы будут обозначаться прямыми полужирными буквами. Обычно мы будем иметь дело с векторами-столбцами, и поэтому при их эквивалентной записи в виде векторов-строк должны применять операцию транспонирования, обозначаемую верхним индексом 7.)

Здесь — расстояние от плоскости изображения до отверстия, — координаты точки Р на этой плоскости. Два вектора коллинеарны и отличаются только (отрицательным) скалярным множителем. Если луч, соединяющий точки Р и F, составляет угол а. с оптической осью, то длина вектора определяется выражением

где — единичный вектор вдоль оптической оси. (Не забывайте, что величина отрицательна для точки, расположенной перед камерой.)

Длина составляет и поэтому . Это выражение можно представить в виде компонент Иногда для упрощения уравнений проекции координаты изображения нормализуют, разделив х и у на .