9.3. Восстановление светлоты

Как мы можем восстановить если дано только их произведение? Очевидно, это невозможно без дальнейших предположений. Для мондриана функция постоянна внутри площадки и имеет выраженные разрывы на краях между площадками.

Рис. 9.1. Мондриан — это изображение, состоящее из площадок постоянного цвета. Неравномерное освещение приводит к изображению, на котором яркость площадок непостоянна.

Относительно функции мы можем, наоборот, предположить, что она изменяется гладко, так как, хотя яркость падающего света может изменяться от точки к точке, эти изменения не слишком резки. Исключением была бы резкая тень, отбрасываемая объектом, освещенным точечным источником.

Если бы мы взяли преобразование Фурье функции энергия оказалась бы сосредоточенной главным образом в области низких частот, в то время как острые края говорят о том, что в преобразовании Фурье этой функции присутствуют и высокочастотные компоненты. Это наводит на мысль о фильтрации изображения для удаления высокочастотных компонент. Другая возможность, связанная с этими же обстоятельствами, заключается в том, чтобы попытаться подчеркнуть края на изображении. Как мы видели, это делается с помощью частных производных.

Наш план заключается в получении промежуточного результата, когда вклад одной компоненты яркости изображения по сравнению с другой увеличивается, поэтому мы можем удалить более слабую компоненту. Разумеется, нам понадобится восстановить из результата оставшуюся компоненту. Это означает, что мы должны обратить первую операцию подчеркивания края. Сами собой напрашиваются линейные пространственно-инвариантные операторы, поскольку мы знаем, как найти обратные к ним.

Края с любыми ориентациями должны рассматриваться одинаково, поэтому требуются операторы, инвариантные к вращению. Линейная комбинация частных производных самого низкого порядка, обладающая вращательной симметрией, представляет собой лапласиан Чтобы облегчить разделение вклада освещенности и отражательной способности, мы вначале берем логарифм от яркости изображения, превращая тем самым произведение в сумму, т. е. , где (К счастью, как , так и положительны.) Тогда имеем Теперь будет иметь конечные значения, так как изменяется гладко. Действительно, если изменяется линейно по х и у, то (то же самое верно для любой гармонической функции, так как она является решением уравнения Лапласа).

С другой стороны, величина хотя и равна нулю почти всюду, но «бесконечна» на краях между площадками. При дифференцировании каждая ступенька порождает двойной край, который можно представить себе как дуплет, т. е. два пространственно-близких импульсных края, имеющих противоположные знаки. На темной стороне существует большой положительный импульс, а на яркой — такой же отрицательный. Амплитуда этого дуплета при переходе через край пропорциональна разности логарифмов отражательной способности

Теперь мы можем использовать нелинейный «пороговый» оператор, который отбрасывает все конечные значения, сохраняя только дуплеты.

Рис. 9.2. Последовательность шагов обработки при восстановлении светлоты в одномерном случае.

Процесс начинается с дифференцирования для подчеркивания сигнала у края, Затем пороговый оператор удаляет медленные флуктуации, обусловленные неравномерностью освещения. Обратной операцией в данном случае является простое интегрирование. Восстановленная светлота является оценкой отражательной способности поверхности.

Если Т — оператор, то . Теперь, уничтожив влияние мы должны восстановить

На рис. 9.2 видим последовательность сигналов в одномерном случае, когда вместо взятия лапласиана используется дифференцирование и можно восстановить простым интегрированием сигнала на выходе порогового оператора. Это ретинексная схема Лэнда.

Однако, как мы увидим, восстановить полностью нельзя. Вследствие этого имеет смысл не называть конечный результат этого вычисления отражательной способностью, а выбрать вместо него термин светлота. Светлота — это полученная по изображению отражательная способность. (В некоторых крайних случаях, которые будут описаны ниже, она может очень существенно отличаться от истинной отражательной способности.) Логарифм светлоты будем обозначать через