3.3. Проекции

Для вычисления положения и ориентации объекта достаточно знать первые и вторые моменты. (При этом остается двузначность в выборе направления на оси, см. упражнение 3.7.) Чтобы найти их значения, нет необходимости в исходном изображении: достаточно знать его проекции. Указанный факт представляет интерес, поскольку проекции описываются более компактно и приводят к гораздо более быстрым алгоритмам.

Рассмотрим прямую, проходящую через начало координат и наклоненную к оси х под углом (рис. 3.6). Проведем новую прямую, пересекающую первую под прямым углом в точке, находящейся на расстоянии от начала координат. Обозначим расстояние вдоль новой прямой через Интеграл от функции вдоль новой прямой дает одно значение проекции. Иными словами,

Рис. 3.6. (см. скан) Проекция области изображения на прямую, составляющую с осью х угол Ее можно найти путем интегрирования вдоль прямых, подобных той, которая обозначена буквой

Интегрирование осуществляется по части прямой лежащей внутри изображения. Например, вертикальная проекция описывается выражением

а горизонтальная проекция — выражением

Далее, поскольку

имеем

Более важно, что

Таким образом, первые моменты проекций равны первым моментам исходного изображения.

Чтобы найти ориентацию, нам нужны также и вторые моменты. Два из них также легко вычисляются с помощью проекций

Рис. 3.7. Горизонтальная диагональная и вертикальная проекции, содержащие всю необходимую информацию для вычисления моментов нулевого, первого и второго порядков области изображения. Эти моменты в свою очередь дают исчерпывающую информацию, которая требуется для определения положения и ориентации области.

Однако интеграл от произведения ху через введенные выше проекции вычислить невозможно. Мы можем добавить диагональную проекцию

Теперь нетрудно убедиться в том, что

Следовательно,

Таким образом, все интегралы, необходимые для вычисления положения и ориентации области на бинарном изображении, можно получить, используя горизонтальную, диагональную и вертикальную проекции (рис. 3.7).

То, что было сейчас изложено, интересно сравнить с методами восстановления в томографии. В ней рассматриваются интегралы от поглощающей способности материала образца. Проблема состоит в восстановлении плотности распределения вещества. В методах рентгеновской

томографии образец представляют в виде стопки срезов, причем каждый срез соответствует отдельной двумерной задаче. Получаемые проекции аналогичны тем, о которых шла речь выше. Можно показать, что распределение поглощающего материала определяется при наличии известных проекций для всех направлений и при условии, что плотность отлична от нуля только в ограниченной области пространства.

Какое отношение имеет восстановление в томографии к изучаемой здесь проблеме? Основное различие состоит в том, что в нашем случае функция, от которой берутся интегралы вдоль прямых, может принимать значения только «нуль» и «единица». Другое отличие в том, что мы не пользуемся всем необходимым объемом информации, а лишь тем, который достаточен для определения геометрического центра и оси минимальной инерции. В вопросах восстановления бинарных изображений по проекциям существует несколько интересных нерешенных задач. Допустим, например, что на изображении имеется непустая выпуклая область. Сколько проекций требуется для полного восстановления границы этой области? Далее, существуют ли некруглые объекты, обладающие тождественными с окружностью горизонтальными и вертикальными проекциями?