6. Обработка непрерывных изображений

Часто удобно каким-либо образом преобразовать изображение в такое, которое легче поддается дальнейшему манипулированию. Обработка изображений включает в себя поиск методов, позволяющих осуществить подобные преобразования. Большинство рассмотренных до сих пор методов являются линейными: инвариантными по отношению к сдвигу, т. е. пространственно-инвариантными. Методы, обладающие такими свойствами, позволяют применить мощный аналитический аппарат. В этой главе мы покажем, что линейные пространственно-инвариантные системы можно характеризовать сверткой, т. е. операцией, одномерный случай которой был введен нами при рассмотрении плотности распределения вероятности двух случайных величин.

Мы также продемонстрируем пользу от введения понятия пространственной частоты и преобразований между пространственными и частотными областями. Как оптические, так и цифровые системы обработки изображений можно охарактеризовать в пространственной области функцией рассеяния точки (импульсной переходной функцией), а в частотной области — передаточной функцией. Обсуждаемые в этой главе математические приемы будут применены к анализу дифференциальных операторов, используемых при выделении краев объектов, а также методов оптимальной фильтрации, используемых при подавлении шума.

Большинство обсуждаемых здесь методов представляет собой обобщение на случай двумерных линейных систем соответствующего аппарата, относящегося к одномерным сигналам, однако мы не будем предполагать знакомство читателя с этим аппаратом. В настоящей главе рассматривается непрерывный, а в следующей главе — дискретный случаи.

6.1. Линейные пространственно-инвариантные системы

Изображение можно рассматривать как двумерный сигнал. Основываясь на такой точке зрения, можно разработать соответствующий подход к обработке изображений. Рассмотрим расфокусированную

Рис. 6.1. Расфокусированное изображение рассматриваемое как идеальное изображение подвергнутое преобразованию.

зрительную систему (рис. 6.1). Изображение полученное с помощью такой системы, можно считать преобразованным вариантом идеального изображения которое было бы получено с помощью правильно сфокусированной системы. Если освещение изменится так, что яркость идеального изображения удвоится, то яркость расфокусированного изображения также удвоится. Далее, если несколько сместить зрительную систему так, что идеальное изображение слегка сместится в плоскости изображения, то расфокусированное изображение сместится подобным же образом. Поэтому говорят, что переход от идеального изображения к расфокусированному является линейной пространственноинвариантной операцией. В действительности и более сложные оптические зрительные системы, как правило, также линейны и пространственно-инвариантны. Теперь эти понятия будут определены точнее.

Рассмотрим двумерную систему, которая при входных сигналах дает выходные сигналы соответственно

Система называется линейной, если для любых чисел при входном сигнале на ее выходе генерируется сигнал

Большинство реальных систем ограничены по величине отклика и потому не могут быть строго линейными. Более того, яркость (световая энергия, отнесенная к единице площади) не может быть отрицательной. Поэтому входной сигнал (изображение) ограничен неотрицательными значениями, хотя значения промежуточных результатов наших вычислений могут быть произвольными.

Теперь рассмотрим систему, которая по заданному входу дает на выходе

Система называется пространственно-инвариантной, если для произвольных реакция системы на смещенный входной сигнал представляет собой смещенный выходной сигнал

На практике изображения ограничены по площади, так что пространственная инвариантность справедлива только для ограниченных сдвигов. Кроме того, аберрации в оптических зрительных системах зависят от расстояния до оптической оси; следовательно, такие системы лишь приблизительно пространственно-инвариантны.

Методы анализа линейных пространственно-инвариантных систем играют важную роль для понимания свойств систем формирования изображений. Недостатки последних часто можно рассматривать как результат наличия линейной пространственно-инвариантной системы, которая преобразует идеальное изображение в реально наблюдаемое. Для нас более важно изучение линейных пространственно-инвариант-ных систем, которое приводит к полезным для обработки изображений алгоритмам, основанным либо на оптических, либо на численных методах.

Простым примером линейной пространственно-инвариантной системы служит система, которая выдает производную входного сигнала по х или у. Линейность такой системы вытекает из правил дифференцирования произведения произвольной функции на постоянную величину и суммы двух функций. Также легко доказать и пространственную инвариантность. Алгоритмы вычисления производных находят применение на этапе предварительной обработки в системах выделения краев.

Мы начинаем с изучения непрерывных изображений, чтобы заложить фундамент для построения дискретных операторов. Линейные, пространственно-инвариантные системы обработки изображений являются обобщением на случай двух измерений одномерных линейных

пространственно-инвариантных систем, например простых пассивных электрических цепей. Неудивительно поэтому, что подавляющую часть представленных здесь результатов можно получить путем простого обобщения способов доказательства аналогичных утверждений, относящихся к одномерному случаю. Для простоты (где это возможно) мы будем представлять функции двух переменных в виде произведения двух функций от одной переменной. Это позволит двумерные интегралы разложить на произведение двух одномерных интегралов.

При анализе одномерных систем в качестве входных и выходных сигналов обычно фигурируют временные функции. Выходной сигнал такой системы никогда не может опережать входной сигнал. Это накладывает жесткое ограничение на системы обработки одномерных сигналов: они должны быть каузальными. Физически реализуемы только те системы, которые удовлетворяют этому условию. При синтезе двумерных систем подобной проблемы не возникает.

Поскольку мы привлекаем мощные методы обработки сигналов в одномерных системах, необходимо отметить и недостатки такого подхода. Условия линейности и пространственной инвариантности являются весьма жесткими и значительно сужают наши возможности работы с изображением. Все же трудно добиться какого-либо прогресса без руководящей теории.