6.2. Свертка и функция рассеяния точки

Рассмотрим систему, реакция которой на заданный входной сигнал имеет вид

При этом говорят, что — свертка функций и . Легко показать, что такая система линейна, поскольку ее реакция на сигнал представляет собой сигнал . Здесь, как и ранее, — реакция на сигнал — на сигнал Результат вытекает из правил интегрирования произведения функции на постоянную величину и суммы двух функций. Также нетрудно убедиться в пространственной инвариантности системы: если на вход подать сигнал , то на выходе получим . Таким образом, система, реакцию которой можно описать операцией свертки, является линейной и пространственно-инвариантной. Скоро мы покажем и обратное, что любая линейная пространственно-инвариантная система описывается некоторой операцией свертки. Свертка обычно обозначается символом . Поэтому запись приведенной выше формулы можно сократить: .

Было бы желательно связать функцию с некоторым

наблюдаемым свойством системы. Всегда ли можно для произвольной функции найти входной сигнал который приводил бы на выходе к функции Более точно, всегда ли можно найти функцию такую, что

Беглый анализ подсказывает, что если это соотношение справедливо для произвольной функции то необходимо, чтобы функция равнялась нулю во всех точках, кроме начала координат и «бесконечности» в начале координат. «Функция», о которой идет речь, называется единичным импульсом или дельта-функцией Дирака и обозначается .

Грубо говоря, функция равна нулю всюду, кроме начала координат, в котором она «бесконечна». Интеграл от по любой области, включающей начало координат, равен единице. (Если функцию двух переменных х и у рассматривать как поверхность, то этот интеграл равен объему, ограниченному этой поверхностью.) Импульс не является функцией в классическом смысле (т. е. не определяется своими значениями для каждой пары аргументов). Это — обобщенная функция, которую можно рассматривать как «предел» при последовательности квадратных импульсов размером по осям х и у и высотой Об этом подробнее будет сказано позже, а сейчас мы лишь укажем на фильтрующее свойство

на основе которого можно определить импульс. Из этого свойства следует, что

в чем можно убедиться простой заменой переменных. Сравнивая с нашим исходным уравнением для выхода системы, убеждаемся, что — реакция системы на вход, представленный единичным импульсом.

Рассматриваемая в виде изображения функция представляет собой черный фон везде, кроме начала координат. Поэтому функция говорит нам о том, как система смазывает или рассеивает светящуюся точку. В двумерном случае ее называют функцией рассеяния точки (или импульсной переходной функцией). Она является реакцией системы на единичный импульс и, следовательно, аналогична хорошо знакомой реакции на единичный импульс одномерной системы.

Теперь нам нужно показать, что выход любой линейной пространственно-инвариантной системы образуется путем свертки входного

Рис. 6.2. Непрерывная функция, рассматриваемая как предел кусочно-постоянной функции. В свою очередь каждый участок постоянства можно заменить импульсом, площадь которого пропорциональна высоте участка. Это приводит к разложению функции на импульсы.

сигнала. Функцию рассеяния точки можно определить, подав на вход контрольный сигнал . Считая реакцию на единичный импульс известной, входной сигнал удобно представить в виде бесконечного числа смещенных отмасштабированных единичных импульсов Простое геометрическое построение поможет представить, как это можно осуществить. Разобьем плоскость ху на квадраты со стороной е. Над каждым таким элементарным квадратом построим импульс высотой, равной среднему значению функции в этом квадрате. На рис. 6.2 показано сечение такого двумерного множества квадратных импульсов. Функция аппроксимируется кусочно-постоянной функцией, которая представляет собой сумму всех таких импульсов.

Можно сделать еще один шаг и заменить каждый прямоугольный импульс точечным импульсом, расположенным в центре элементарного квадрата. Объем пространства под импульсом можно приравнять объему прямоугольного импульса, т. е. интегралу от функции по элементарному квадрату. Если функция непрерывна, а величина достаточно мала, то этот интеграл можно приближенно представить в виде произведения значения в центре квадрата на его площадь. Требуемый результат достигается в пределе, если мы устремим

Точно такое же разложение функции на совокупность импульсов можно получить, если принять во внимание фильтрующее свойство единичного импульса. В любом случае мы приходим к выражению

Имея разложение функции на совокупность импульсов, можно

определить суммарный выход на заданный путем сложения реакций системы на смещенные отмасштабированные импульсы. Это следует из линейности рассматриваемой системы.

Реакцией на импульс является произведение поскольку система пространственно-инвариантна. Отсюда, поскольку — это просто функция имеем

Это можно записать в виде Ниже доказывается коммутативность операции свертки, т. е. , и следовательно,

Линейную пространственно-инвариантную систему всегда можно описать подходящей функцией рассеяния точки . С помощью этой функции мы можем вычислить реакцию на любой заданный входной сигнал Функция рассеяния точки является исчерпывающей характеристикой линейной пространственно-инвариантной системы. Таким образом, мы показали, что линейная пространственно-инвариантная система осуществляет операцию свертки.

Теперь докажем коммутативность свертки, т. е. что Пусть или

Положим тогда

Поскольку — произвольные немые переменные, мы можем заменить их переменными и не изменив значения интеграла. Тогда получим

что и означает Свертка также ассоциативна, а именно: . Это позволяет нам рассматривать последовательность (каскад) двух систем с функциями рассеяния точки

Если входной сигнал, то на выходе первой системы получим Этот новый сигнал подается на вход второй системы, в результате чего на ее выходе получаем Это можно записать в виде что совпадает с выходом, который мы имеем у системы с функцией рассеяния точки