6.5. Преобразование Фурье для операции свертки
Пусть 
тогда преобразование Фурье 
функции 
имеет вид
или
Таким образом,
Операция свертки в пространственной области становится операцией умножения в частотной области. В этом заключается основной довод в пользу введения сложного аппарата пространственных частот. Коммутативность и ассоциативность свертки непосредственно вытекают из соответствующих свойств умножения.
Используя почти симметрию между прямым и обратным преобразованиями, нетрудно показать, что Фурье-преобразование произведения двух функций 
имеет вид 
. Вывод этого выражения аналогичен используемому выше.
Далее, рассмотрим свертку 
в точке 
Применяя обратное преобразование к функции 
, мы также получаем
Поскольку 
то
Если повторить предыдущие рассуждения для функции 
Вместо этого получим
поскольку преобразование Фурье функции 
есть 
т. е. комплексно-сопряженная функция к 
Считая функцию 
действительной, в частности, видим, что
Здесь 
Этот результат, устанавливающий равенство энергий в пространственной и частотной областях, известен как теорема Рэлея. Ее дискретный аналог — теорема Парсеваля.
