8.2. Дифференциальные операторы

Простейшей моделью края на изображении является прямая, разделяющая две контрастные области (рис. 8.1). Нам понадобится единичная ступенчатая функция и определяемая в виде

имея в виду, что Она является интегралом от одномерного единичного импульса:

Предположим, что край располагается вдоль прямой Тогда яркость изображения можно записать в виде

Рис. 8.1. Идеальный край в виде прямой, разделяющей две области постоянной яркости.

Частные производные описываются уравнениями

Эти дифференциальные операторы являются направленными, поскольку результат их действия зависит от ориентации края. Вектор называется градиентом яркости. Градиент яркости представляет собой вектор, не зависящий от выбора системы координат, в том смысле, что он сохраняет свою величину и ориентацию по отношению к лежащему в основе образу, когда этот образ поворачивается или сдвигается.

Рассмотрим теперь квадрат градиента

Этот оператор, не являясь линейным, обладает круговой симметрией и действует на края одинаково при любом их угловом расположении.

Производная единичного импульса называется единичным дуплетом и обозначается Используя это обозначение, получаем

Лапласиан изображения

является величиной, которая также обладает круговой симметрией. Наконец, квадратичная вариация

так же, как это и можно было ожидать, обладает круговой

симметрией. В случае нашей идеализированной модели края квадратичная вариация оказывается равной квадрату лапласиана. Обратите внимание, что среди трех рассмотренных операторов только лапласиан имеет тот же знак, что и перепад яркости при переходе через край. Это позволяет по изображению с обостренными краями определить, которая из разделяемых краем сторон более ярка. Таким образом, лапласиан — это единственный из трех операторов, по которому вообще возможно восстановление исходного изображения по изображению с обостренными краями. Кроме того, лишь он один из трех является линейным.