8.3. Дискретные аппроксимации

Рассмотрим группу элементов изображения размером

Производные в центральной точке этой группы можно оцийггь следующим образом:

где — расстояние между центрами соседних элементов. Каждая оценка представляет собой среднее двух конечно-разностных приближений.

Конечно-разностная аппроксимация производной всегда относится к определенной точке. Так, обычная конечно-разностная формула дает оценку, которая является несмещенной по отношению к точке, расположенной посередине между точками отсчета оцениваемой функции. Формулы, приведенные выше для оценки частных производных, выбраны именно такими потому, что они не смещены относительно одной и той же точки, а именно относительно общей угловой вершины в центре четырех рассматриваемых элементов изображения (пикселов). Теперь квадрат градиента можно аппроксимировать следующим образом:

Если выполнить эти простые вычисления для всего изображения, то мы получим большие значения в тех местах, где яркость изменяется быстро. В областях постоянной яркости выход равен нулю. (Если присутствует шум, то выход отличен от нуля, но достаточно мал.) Результаты такой обработки можно занести в новый массив изображения, в котором края уже будут значительно усилены.

По квадрату градиента ничего нельзя сказать о направлении края. Эта информация содержится в самом градиенте, который указывает на направление наиболее быстрого увеличения яркости. Край ортогонален градиенту, поскольку

откуда следует, что пропорциональна функции — функции — Градиент будет указывать на направление, ортогональное линии края, даже в том случае, если перепад яркости при переходе через край окажется достаточно плавным, например, благодаря размыванию. Естественно, дискретная аппроксимация градиента может давать не столь уж аккуратные оценки направления линии края, поскольку те элементы изображения, через которые проходит край, имеют промежуточные значения яркости.

Теперь рассмотрим группу элементов размером

Для оценки величины лапласиана в центральном пикселе используем следующие аппроксимации:

поэтому

Здесь значение в центральном пикселе вычитается из среднего арифметического его соседей. Ясно, что в областях постоянной яркости результат равен нулю. Это верно даже для тех участков, где яркость изменяется линейно.

Подобные дискретные аппроксимации дифференциальных операторов используются при решении дифференциальных уравнений в частных производных, конечно-разностными методами. Вспомните сказанное ранее о вычислительных трафаретах (масках). Коэффициент, на который умножается значение, называется весом. Набор весов, расположение которых указывает на те элементы изображения, к которым они применяются, называется маской или вычислительным трафаретом.

В нашем случае маска имеет вид

где член слева представляет собой множитель, относящийся ко всем весам. Вспомните, что применение лапласиана эквивалентно свертке с обобщенной функцией, определенной последовательностью функций, имеющих впадину в центре, окруженную кольцеобразным (положительным) возвышением. Приведенная выше дискретная аппроксимация должна была напомнить вам о функциях этой последовательности.

На квадратной решетке трудно найти маску, которая аппроксимирует лапласиан и является симметричной. Ранее, когда мы пытались подыскать подходящее определение связности для бинарных изображений, нам пришлось принять решение о том, какие соседи заданного пиксела считаются связанными с ним. Здесь мы снова сталкиваемся с вопросом, надо ли включать только элементы, примыкающие по сторонам, или угловые элементы. На гексагональной решетке подобная проблема не возникает, причем все шесть соседей входят с одинаковыми весами (рис. 8.2).

Один из возможных путей дальнейшего продвижения состоит в рассмотрении системы координат, повернутой на угол 45° относительно системы координат ху. Если мы обозначим оси новой системы через х и у, то сможем использовать аппроксимацию

Рис. 8.2. На гексагональной решетке отличная аппроксимация оператора Лапласа получается вычитанием значения в центральной ячейке из среднего арифметического значений в окружающих ее шести ячейках. Результат умножается на константу, зависящую от шага решетки .

поэтому

Соответствующая маска имеет вид

Ясно, что линейные комбинации двух приведенных выше масок также дают оценки членов, составляющих лапласиан. Популярная комбинация, которая, как мы покажем в упр. 8.8, дает особенно точную оценку лапласиана, принимает форму

Она получается сложением первой из приведенных ранее масок, взятой с коэффициентом 2/3, со второй маской, взятой с коэффициентом 1/3. В упражнении мы покажем, что этот оператор можно записать в виде где — лапласиан, а содержит производные

шестого и более высоких порядков, умноженные на и более высокие степени е. Наконец, чтобы получить дискретную аппроксимацию квадратичной вариации, нам нужна смешанная производная Ниже приводится подходящая для ее вычисления маска:

Теперь должно быть ясно, как вычислить квадратичную вариацию