П.3. Дифференцирование по векторной и матричной переменным

Часто систему уравнений можно представить компактнее, используя векторную запись. Преимущество такой записи может сойти на нет при

необходимости рассмотрения производных скаляра или вектора по компонентам вектора. Однако и в этом случае существует аналогичная компактная форма записи.

П.3.1. Дифференцирование скаляра по векторной переменной

Производная скаляра по векторной переменной представляет собой вектор, компонентами которого являются производные скаляра по компонентам вектора. Если то Следовательно, . Длина вектора - это квадратный корень из суммы квадратов его компонент а. Мы видим, что откуда , где . Кроме того, , где . Далее

В частности,

Производной скаляра по матричной переменной является матрица, компонентами которой служат производные скаляра по каждому из элементов матрицы. Таким образом, если

то

Следовательно,

где след матрицы - сумма ее диагональных элементов, единичная матрица. Также имеем

В частности,

Заметьте, что - не скаляр Последний равен . Если то диадное произведение определяется следующим образом:

Другим интересным примером производной по матричной переменной служит выражение -

То, что эта матрица — из алгебраических дополнений, можно показать следующим образом. Выберем какой-либо элемент матрицы М. Определитель можно представить в виде суммы путем его разложения по строке, содержащей этот элемент:

— алгебраическое дополнение к Таким образом, производная определителя по элементу тесть просто (Алгебраическое дополнение равно произведению и определителя матрицы, получаемой из исходной вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.) Окончательный результат следует из того факта, что обратная матрица равна транспонированной матрице алгебраических дополнений, деленных на определитель исходной матрицы.

Далее, если А и В — согласованные по размеру матрицы (это означает, что А содержит столько столбцов, сколько В строк), то

Кроме того, в общем случае

Одной из возможных матричных норм является квадратный корень из суммы квадратов ее элементов: Мы видим, что

Отсюда из тождества — или следует, что

П.3.2. Дифференцирование векторной переменной по векторной

Иногда бывает удобно ввести матрицу, содержащую в качестве своих элементов производные компонент одного вектора по компонентам другого вектора:

Эта матрица является матрицей Якоби координатного преобразования от а к Ясно, что для любой матрицы М. Кроме того, мы видим, что

откуда убеждаемся в справедливости тождества

Оно определяет изоморфизм между векторами и антисимметричными матрицами, что может пригодиться при работе с векторными произведениями.