6.12. Корреляция и энергетический спектр

При обработке изображений иногда бывает полезно сопоставлять (коррелировать) их друг с другом. Таким путем мы, например, можем сказать, насколько похожи две яркостные картинки (рис. 6.10). Взаимная корреляция функций а определяется в виде

Этот интеграл мы будем обозначать через Обратите внимание, что это определение похоже на определение свертки. Единственное

Рис. 6.10. Возможность использования корреляции при сравнении двух похожих изображений

Ее можно также использовать при определении положения фрагмента изображения, содержащего известный образ.

отличие заключается в аргументах первой функции подынтегрального выражения. Здесь перед умножением на сдвигается. Кроме того, в свертке аргументы первой функции меняет знак:

Если то результат называется автокорреляцией. Автокорреляция функции симметрична, т. е. Можно показать, что автокорреляция любой функции имеет максимум при так что для всех Если отличается от только сдвигом, т. е. то аналогичный максимум возникает в точке, соответствующей величине сдвига, а именно Для всех Заметьте, что возможны и другие максимумы, особенно если функция периодическая. Тем не менее если мало отличается от сдвинутой функции а то величину сдвига можно оценить путем нахождения максимума

Часто информативными оказываются преобразования Фурье взаимных корреляций и автокорреляций. По причинам, которые сейчас станут ясны, их называют энергетическими спектрами и обозначают через и соответственно. Если преобразованием Фурье функции а является функция то где — комплексно-сопряженная к функция. Отсюда видно, что функция всегда действительна [свойство, которое можно также вывести из симметрии и того факта, что преобразование Фурье функции есть . В любом случае для малых величина представляет собой энергию, заключенную в прямоугольной области частотного диапазона, ограниченной значениями и, и Этим и объясняется происхождение термина энергетический спектр.

Даже если интеграл Фурье для функции а не сходится, ее энергетический спектр может существовать. Необходимо также отметить, что по посредством обратног о преобразования Фурье функция восстанавливается однозначно, в то время как подобная функция, соответствующая заданному спектру Фяа(и, не единственна. Бесконечно много функций обладают одной и той же автокорреляцией и, следовательно, одним и тем же энергетическим спектром. Он не меняется, например, при сдвиге изображения, поскольку при этом изменяется лишь фаза в преобразовании Фурье. Если объект можно распознать по энергетическому спектру изображения, то его можно распознать независимо от его положения на изображении. В связи с этим одно время возлагали большую надежду на то, что методы Фурье-преобразований сыграют значительную роль в решении задач

распознавания. К сожалению, такие методы оказываются пригодными лишь тогда, когда на изображении имеется только один объект и при этом он не поворачивается и не меняется в размерах. Более того, как мы видели, энергетический спектр различных объектов может быть одинаковым.

Случайный шум предоставляет другую интересную иллюстрацию. Фурье-преобразование изображения, на котором каждая точка подвержена случайному шуму с нулевым средним и стандартным отклонением представляет собой подобное же зашумленное изображение со средним шума, равным нулю, и стандартным отклонением Среднее значение энергетического спектра бесконечного числа таких зашумленных изображений стремится на всех частотах к постоянному значению.