16.4. Расширенный сферический образ

Можно определить отображение, которое сопоставляет обратное значение гауссовой кривизны в точке поверхности определенной точке на единичной сфере. Пусть — параметры, задающие точку на исходной поверхности, а и — параметры, задающие положение точки на гауссовой сфере (например, долгота и широта). Расширенный сферический образ мы определим как

где — точка на гауссовой сфере, соответствующая точке исходной поверхности. Можно показать, что для выпуклых объектов такое отображение единственно (с точностью до сдвига). Точнее, существует только один выпуклый объект, обладающий заданным расширенным сферическим образом. Доказательство этого факта, к сожалению, неконструктивно, ввиду чего прямой метод восстановления формы объекта неизвестен.

Допустим, что выпуклый объект наблюдается с большого расстояния по направлению единичного вектора у. Участок поверхности с единичной нормалью будет наблюдаться, только когда . Пусть площадь его поверхности равна . Из-за сокращения в ракурсе он будет выглядеть как участок, ортогональный у, с площадью (рис. 16.6). Пусть — единичная полусфера, для которой . Тогда площадь видимой поверхности при наблюдении в направлении у составляет

Она, естественно, должна быть той же самой, что и площадь поверхности, наблюдаемой с противоположного направления:

Следовательно,

где интеграл берется уже по всей сфере. Поскольку это равенство выполняется для всех направлений наблюдения мы должны иметь

Иными словами, центр масс расширенного сферического образа находится в начале координат. (Между прочим, практически этот результат мало что дает, поскольку мы можем наблюдать, как правило, лишь одну сторону объекта.)

Легко продемонстрировать и другое свойство расширенного сферического образа. Его общий вес равен суммарной площади поверхности объекта. Если нам необходимо работать с одинаковыми по форме, но различными по размеру объектами, то путем деления на общий вес можно нормализовать их сферические образы.

Расширенный сферический образ можно рассматривать как плотность распределенной по единичной сфере массы. При этом становится возможным логически последовательно с помощью введенного выше интеграла от рассматривать случаи, когда в некоторых местах поверхности гауссова кривизна равна нулю. Плоскому участку, например, соответствует точечная масса. При этом на гауссовой сфере возникает импульсная функция с величиной импульса, пропорциональной площади участка. (Величина импульса заданной на сфере функции является просто интегралом от этой функции, взятым по всей поверхности сферы.)

Если поверхность не выпукла, то имеют место следующие три особенности:

— для некоторых точек гауссова кривизна оказывается отрицательной;

— некоторым точкам сферы отвечает более одной точки объекта;

— части объекта могут загораживать друг друга. В этом случае мы определим расширенный сферический образ как сумму абсолютных величин, обратных гауссовой кривизне, для всех точек объекта с одинаковой ориентацией. Это определение вытекает из метода вычисления дискретной аппроксимации расширенного сферического образа, о котором будет рассказано ниже.

Рис. 16.7. Вычисление расширенного сферического образа эллипсоида с тремя различными полуосями представляет собой интересную задачу.