6.8. Частные производные и свертка

Для выделения краев на изображениях мы используем дифференцирование, и поэтому интересно будет узнать, как связаны преобразования Фурье исходного и дифференцированного изображений. Иными словами, если — преобразование Фурье для функции то каковы преобразования Фурье для операторов Рассмотрим преобразование

Внутренний интеграл берется интегрированием по частям

Однако следующий шаг мы можем предпринять только тогда, когда при . В этом случае преобразование Фурье имеет вид

Если не стремится к нулю на бесконечности, интеграл не сходится, но при этом мы можем прибегнуть к множителям сходимости и получить тот же результат. Подобным же способом легко показать, что преобразование Фурье для оператора равно . Отсюда заключаем, что дифференцирование выделяет высокочастотные компоненты и подавляет низкочастотные. В частности, любой постоянный фон или составляющая с нулевой частотой полностью теряется.

Лапласиан функции определяется как Следовательно, преобразование Фурье лапласиана равняется — Выражение — можно рассматривать как передаточную функцию оператора в смысле, который станет ясен в дальнейшем. Обратим внимание на круговую симметрию этой передаточной функции: она зависит только от , а не по отдельности от . Это наводит на мысль о том, что и сам оператор Лапласа обладает круговой симметрией.

Может показаться странным совпадением, что дифференцированию в пространственной области соответствует умножение в частотной области, поскольку раньше мы уже наблюдали подобное же соответствие между сверткой и умножением. Такое совпадение становится менее удивительным, если представить результат дифференцирования как реакцию линейной пространственно-инвариантной системы! Возможно ли, что дифференцирование эквивалентно свертке с некоторой особенной функцией? (Эта функция должна быть действительно особенной, поскольку ввиду локального характера операции дифференцирования она должна равняться нулю всюду, кроме начала координат.) Изучим этот вопрос более подробно.

Передаточной функцией соответствующей первой частной производной по х, является . Используя обратное преобразование Фурье к мы можем найти функцию рассеяния точки, соответствующую первой частной производной

Этот интеграл не сходится. Его можно было бы взять с помощью множителя сходимости, однако проще заметить, что

Следовательно, интеграл равен поскольку умножению преобразования Фурье на соответствует дифференцирование по х. Поскольку необычная функция, то нельзя ожидать, что ее производная окажется функцией в классическом смысле. Однако ее можно найти с помощью последовательности функций, например таких:

Равнозначный способ ее определения — в виде предела последовательности

Здесь мы имеем два близко расположенных импульса противоположной полярности. Результат, называемый дуплетом, будет обозначаться Это определение аналогично обычному способу определения частной производной как предела приращения функции

так что

Обобщенную функцию, соответствующую лапласиану, можно представить в виде предела следующей последовательности, получаемой, например, дифференцированием (рис. 6.5, а):

Рис. 6.5. Действие оператора Лапласа, рассматриваемое как предел последовательности операций свертки с функциями, обладающими круговой симметрией по отношению к началу координат. а — Лапласиан гауссовой функции дает пример подобных функций с непрерывными производными; б — вместо зтого мы можем использовать кусочно-постоянную функцию.

Эта функция обладает круговой симметрией. В центре симметрии имеется впадина глубиной и радиусом по краям которой расположено кольцеобразное возвышение с максимальной высотой и радиусом . Такая форма графика функции наводит на мысль о другой последовательности (рис. 6.5,б):

В дальнейшем при работе с дискретными аналогами этих непрерывных операторов она нам пригодится.