6.9. Круговая симметрия и изотропные операторы

Лапласиан представляет собой линейную комбинацию частных производных наименьшего порядка, обладающую круговой симметрией. Это означает, что результаты применения лапласиана к повернутому изображению и повернутого лапласиана к исходному изображению совпадают. И наоборот, если мы повернем изображение, применим оператор Лапласа и повернем получившееся изображение назад, то получим тот же результат, что и при простом применении лапласиана.

Другим оператором второго порядка с круговой симметрией является квадратичная вариация Однако этот оператор нелинеен. Если мы допустим нелинейность, то дифференциальным оператором с круговой симметрией наименьшего порядка будет квадрат градиента Как мы увидим в гл. 8, лапласиан, квадрат градиента, квадратичная вариация окажутся полезными при выделении краев на изображении.

Операторы, обладающие круговой симметрией, привлекательны тем, что результат их применения к изображению не зависит от ориентации последнего. Кроме того, функцию, обладающую круговой симметрией, можно описать простым плоским профилем, а не поверхностью. Наконец, как сейчас будет показано, преобразование Фурье такой функции вычисляется с помощью однократного, а не двойного интегрирования.

Введем полярные кординаты как в пространственной, так и частотной областях (рис. 6.6): так что их Теперь если то преобразование Фурье

примет вид

Рис. 6.6. Удобство введения полярных координат как в пространственной, так и в частотной областях при работе с функциями, обладающими круговой симметрией.

(Величина в подынтегральном выражении — это просто определитель якобиана преобразования от декартовых координат к полярным.) Если поменять порядок интегрирования, то после очевидной замены переменных внутренний интеграл примет вид

где — функция Бесселя нулевого порядка. Следовательно, если , то

Аналогично можно показать, что

Две последние формулы определяют преобразование Ганкеля. (Причина их асимметричности кроется в асимметричности нашего определения преобразований Фурье.)

Мы видим, что преобразование Фурье функции с круговой симметрией также обладает круговой симметрией. Кроме того, оно является действительной функцией, откуда следует, что сдвиг по фазе равен нулю.

Рис. 6.7. Функция играющая в двумерных системах ту же роль, что и функция в одномерных.

Свертка с такой функцией позволяет удалить все частоты выше определенного порога, т. е. система, обладающая подобной функцией рассеяния точки, действует как низкочастотный фильтр.

Этими выводами мы воспользуемся при анализе некоторых простых дефектов зрительной системы. В качестве примера рассмотрим импульсную функцию системы, которая действует как фильтр нижних частот с частотой среза В, т. е.

Производя обратное преобразование, получим

Пусть тогда

Далее где - функция Бесселя I порядка. Поэтому

Можно доказать, что Поэтому имеет максимум в начале координат, а затем плавно убывает до нуля при (рис. 6.7). Потом она становится отрицательной и в дальнейшем осциллирует около нуля со все убывающей амплитудой.

Асимптотически снижение амплитуды описывается функцией Функция для двумерных систем играет ту же роль, что и функция для одномерных.

Между прочим, должно быть ясно, что фильтр со слишком крутым срезом приведет к возникновению колебаний или «кольцевых» эффектов в пространственной области (иногда называемых явлениями Гиббса). Во многих случаях предпочтительнее фильтр с более плавным понижением, поскольку он меньше подвержен воздействию указанных явлений. Например, гауссов фильтр имеет очень плавный срез, который захватывает заметный интервал частот. Он не порождает никаких ложных изменений в отфильтрованном изображении.