11.1.4. Общий случай

Предположим, что мы имеем координаты некоторой точки поверхности и хотим продолжить решение из этой точки. Используя малое

Рис. 11.4. Изменение высоты как сумма изменений высот ловленных малым шагом по и у соответственно.

приращение мы еще раз заметим, что изменение дальности задается выражением где и — первые частные производные по (рис. 11.4). Больше ничего нельзя сказать, пока не станут известны и . К сожалению, уравнение освещенности изображения дает только одно условие; этой информации недостаточно, чтобы получить решение как для так и для

Предположим временно, что мы узнали и в данной точке. Тогда мы можем продолжить решение из точки в точку Однако для этого необходимы новые значения и в этой точке (рис. 11.5). Теперь изменения и можно вычислить по

Рис. 11.5. Решение задачи восстановления формы по распределению полутонов, определяемое решением пяти дифференциальных уравнений относительно и Результатом является характеристическая полоса, т. е. кривая в пространстве, вдоль которой известна ориентация поверхности.

формулам где и — вторые частные производные по х и у. Их можно переписать в компактной форме

где Н — матрица Гессе вторых частных производных

Матрица Гессе дает информацию о кривизне поверхности. Для малых наклонов поверхности ее детерминант является гауссовой кривизной, которую мы введем ниже. Кроме того, след матрицы Гессе (сумма ее диагональных элементов) — это лапласиан дальности, который для малых наклонов поверхности равен удвоенной так называемой средней кривизне. Мы будем изучать кривизну поверхности в гл. 16 при рассмотрении расширенных гауссовых образов.

При использовании матрицы Гессе для вычисления изменений и необходимо знать ее компоненты (вторые частные производные Чтобы следить и за ними, нужно знать производные более высоких порядков. Так можно было бы продолжать дифференцирование до бесконечности. Однако заметим, что мы еще не использовали уравнение освещенности изображения. Дифференцируя его по х и у и используя правило дифференцирования сложной функции, получим или

где снова появляется матрица Гессе Н. Это соотношение связывает градиенты на изображении и на карте отражательной способности Мы не можем разрешить его относительно Н, поскольку имеем только два уравнения и три неизвестных однако, к счастью, нам не нужно знать отдельных элементов матрицы Н. Ведь мы не можем продолжать решение в произвольном направлении, а только в некотором специально выбранном направлении. В этом ключевая идея подхода. Положим

где — малая величина. Тогда

Рис. 11.6. Шаги, взятые в пространстве параллельны градиентам соответственно.

Таким образом, если направление смещения на плоскости изображения параллельно градиенту на карте отражательной способности, то можно вычислить изменения . В свою очередь направление смещения в градиентном пространстве параллельно градиенту на изображении (рис. 11.6). Мы можем суммировать все это в виде пяти обыкновенных дифференциальных уравнений где точки означают дифференцирование по Решение этих дифференциальных уравнений является кривой на поверхности. Вдоль нее будет изменяться параметр Масштабированием этих уравнений мы можем сделать параметр любой функцией длины кривой.