18.12. Перепроектирование игольчатых диаграмм
Для сравнения экспериментальной и синтетической гистограмм ориентации, полученных на основе игольчатой диаграммы и модели объекта соответственно, можно выравнять обе гистограммы так, чтобы их ячейки геометрически совпадали. Когда экспериментальная гистограмма ориентации поворачивается, ее ячейки в общем случае перестают геометрически согласовываться с ячейками синтетической диаграммы ориентации. Это означает, что мы должны повернуть нормали в одной из диаграмм ориентации до того, как мы будем проектировать их на мозаичную сферу при стандартной ориентации. Возможно, что перепроектирование нормалей наиболее удобно выполнить для синтетических данных, поскольку это можно сделать заранее, а результаты запомнить. Можно значительно уменьшить объем работы, если выбрать мозаику, которая будет обладать тем свойством, что ее
ячейки будут самосогласованы (выравнены) хотя бы для некоторых поворотов. Мозаика с таким свойством упрощает сопоставление, так как некоторые повороты гистограммы ориентации ведут лишь к перестановке в отсчете соответствующих ячеек. Вот почему нас интересует выбор мозаик с таким свойством.
Грани регулярных твердых тел будут выравнены для поворотов, принадлежащих соответствующей данному твердому телу конечной подгруппе непрерывной группы поворотов. Эти подгруппы имеют размеры 12, 24 и 60 для тетраэдра, октаэдра и икосаэдра соответственно. Мозаики, основанные на икосаэдре и двойственном к нему многограннике, таком, как футбольный мяч или пентакододекаэдр, имеют ту же самую группу поворота. В случае футбольного мяча можно легко составить список поворотов, рассмотрев три типа осей поворота, когда имеются:
— пятикратная симметрия относительно любой оси, проходящей через центр одной из пятигранных ячеек [это дает 
поворота];
— трехкратная симметрия относительно любой оси, проходящей через одну из шестигранных ячеек [это дает 
поворотов];
— наконец, двукратная симметрия относительно центра любого ребра между шестигранными ячейками [это дает другие 
поворотов].
Если мы добавим тождественный (нулевой) поворот, то получим в итоге 60 различных поворотов. Конечной подгруппы, заполняющей пространство поворотов и имеющей большее число элементов, не существует. Чтобы работать с более чем 60 поворотами, необходима перепроекция.
