3.2. Простые геометрические характеристики

Допустим снова, что в поле зрения находится лишь один объект. Если известна характеристическая функция то площадь объекта вычисляется следующим образом:

где интегрирование осуществляется по всему изображению I. При наличии более одного объекта эта формула дает возможность определить их суммарную площадь.

3.2.1. Площадь и положение

Как определить положение объекта на изображении? Поскольку объект, как правило, состоит не из одной единственной точки, мы должны четко определить смысл термина «положение». Обычно в качестве характерной точки объекта выбирают его геометрический центр (рис. 3.2). Геометрический центр — это центр масс однородной фигуры той же формы. В свою очередь центр масс определяется точкой, в которой можно сконцентрировать всю массу объекта без изменения его первого момента относительно любой оси. В двумерном случае первый момент относительно оси х рассчитывается по формуле

Рис. 3.2. Положение области на бинарном изображении, которое можно определить ее геометрическим центром.

Последний представляет собой центр масс тонкого листа материала той же формы.

а относительно оси у — по формуле

где — координаты геометрического центра. Интегралы в левой части приведенных соотношений — не что иное, как площадь А, о которой речь шла выше. Чтобы найти величины х и у, необходимо предположить, что величина А не равна нулю. Заметим попутно, что величина А представляет собой момент нулевого порядка функции

3.2.2. Ориентация

Мы также хотим определить, как расположен объект в поле зрения, т. е. его ориентацию. Сделать это несколько сложнее. Допустим, что объект немного вытянут вдоль некоторой оси; тогда ее ориентацию можно принять за ориентацию объекта (рис. 3.3). (При этом остается двузначность в выборе направления на оси, см. упражнение 3.7.) Как точно определить ось, вдоль которой вытянут объект? Обычно выбирают ось минимального второго момента. Она представляет собой двумерный аналог оси наименьшей инерции. Нам необходимо найти прямую, для которой интеграл от квадратов расстояний до точек объекта минимален; этот интеграл имеет вид

где — расстояние вдоль перпендикуляра от точки с координатами до искомой прямой.

Рис. 3.3. (см. скан) Ориентация области на изображении, определяемая направлением оси наименьшей инерции.

Она представляет собой ось, относительно которой момент инерции тонкого листа материала той же формы минимален.

Положение прямой на плоскости задается двумя параметрами. Удобной парой параметров служат расстояние от начала координат до прямой и угол между прямой и осью х, измеренный против часовой стрелки (рис. 3.4). Мы выбрали эти параметры потому, что при сдвигах и поворотах системы координат они меняются непрерывно. Кроме того, не возникает проблем, когда прямая параллельна или почти параллельна одной из координатных осей.

С помощью этих параметров уравнение прямой записывается в виде причем сразу отметим, что прямая пересекает ось х в точке с абсциссой — , а ось у — в точке с ординатой . Ближайшая к началу координат точка прямой имеет координаты Параметрические уравнения для точек прямой

Рис. 3.4. (см. скан) Два удобных параметра для идентификации заданной на плоскости прямой (это угол наклона по отношению к оси х и расстояние вдоль перпендикуляра от начала координат до прямой).

Рис. 3.5. Расстояние вдоль перпендикуляра от точки до прямой легко определяется как только найдена ближайшая к ней точка прямой

можно представить следующим образом: где — расстояние вдоль прямой, отсчитываемое от ближайшей к началу координат точки.

Чтобы можно было вычислить расстояние от каждой данной точки объекта с координатами нам нужно найти ближайшую к ней точку на прямой (Рис. 3.5). Тогда . Подставляя сюда значения из параметрических уравнений, получим . Дифференцирование по и приравнивание результата нулю дают выражение Это выражение в свою очередь необходимо подставить в параметрические уравнения для . Из них мы сможем найти разности , следовательно,

Сравнивая этот результат с уравнением прямой, видим, что прямая есть геометрическое место точек, для которых Более того, становится очевидным преимущество выбранного нами способа параметризации прямой: расстояние до прямой мы получаем непосредственно.

Теперь перейдем к минимизации интеграла

Дифференцирование по и приравнивание результата нулю приводят к уравнению где — определенные выше координаты геометрического центра. Таким образом, ось минимального второго момента проходит через геометрический центр. Это наводит на мысль о замене переменных х после чего будем иметь , следовательно, где — вторые моменты, вычисляемые по формулам

Теперь можно переписать выражение для Е в виде Дифференцируя по и приравнивая результат нулю, получаем если только или . Следовательно,

Из двух полученных решений то, которому отвечают знаки плюс в выражениях для дает требуемый минимум Е. И наоборот, решение с отрицательными знаками соответствует максимальному значению Е. (Это можно показать, исследовав вторую производную от Е по ). Если то оказывается, что Е не зависит от . В этом случае объект слишком симметричен, чтобы описанным способом можно было определить его ось. Отношение наименьшего значения Е к наибольшему характеризует в некоторой степени, насколько «округлым» является объект. Это отношение равно нулю для прямой и единице для окружности.

Иной путь решения проблемы состоит в попытке найти угол поворота , при котором матрица вторых моментов размера имеет диагональный вид. В упражнении 3.5 мы покажем, что проведенные выше выкладки эквивалентны нахождению собственных чисел и собственных векторов матрицы вторых моментов, имеющей вид