11.4. Степенные ряды в окрестности особой точки
Чтобы узнать, что происходит в окрестности особой точки, рассмотрим карту отражательной способности 
. В этом случае мы имеем отдельный изолированный минимум. Пусть особая точка совпадает с началом координат, т. е. 
Тогда в этой точке 
Если поверхность достаточно гладкая, мы можем разложить 2 в степенной ряд по х и у с отсутствующим членом первог о порядка. Опуская члены высоких порядков вблизи начала, можем записать 
Таким образом, 
Подставляя эти выражения в формулу для отражательной способности поверхности, получим 
Наша задача состоит в определении коэффициентов 
и с при данной яркости изображения и ее производных вблизи начала координат. Прежде чем двигаться дальше, заметим, что поверхность 
дает в точности ту же картину полутонов, и это показывает, что здесь могут быть по меньшей мере два решения.
Градиент яркости описывается выражениями 
. Поскольку 
в точке 
(как и должно было быть), мы не можем
использовать градиент яркости для восстановления формы. Дифференцируя еще раз, получим три уравнения 
для трех неизвестных 
. Три уравнения второго порядка от трех неизвестных могут дать до восьми решений. Однако три найденных здесь уравнения имеют несколько специальный вид, и для них, как показано в упражнении 11.10, существуют только четыре решения.
В любом случае, если дано одно из этих локальных решений, мы можем построить небольшой «колпачок». Его края образуют начальную полосу для метода распространения характеристической полосы, так как 
а также 
известны на краю. Заметим, что решение будет уходить от края, поскольку здесь 
ненулевые.
Проведенный выше анализ можно обобщить на особые точки вне начала координат и на другие карты отражательной способности с вращательной симметрией. Он дает способ начать решение на небольшом расстоянии от особой точки. Возможная трудность заключается в том, что две и более поверхности, имеющие различную форму, могут порождать одну и ту же картину распределения полутонов, так как нелинейные уравнения, содержащие коэффициенты степенных рядов около особой точки, могут иметь более одного решения, как это было здесь.
