16.9. Гауссова кривизна тела вращения
В случае поверхности тела вращения довольно просто определить гауссову кривизну. Тело вращения можно получить путем вращения образующей вокруг оси (рис. 16.17). Пусть образующая задается
Рис. 16.17. Тело вращения, получаемое путем вращения плоской кривой (образующей) вокруг оси, лежащей в плоскости кривой.
Рис. 16.18. Возможность идентификации точек гауссовой сферы значениями долготы 
и широты 
.
расстоянием 
от ее точек до оси в виде функции длины дуги 
вдоль кривой, а 
— угол поворота вокруг оси.
Теперь поместим гауссову сферу так, чтобы ее ось совпадала с осью тела вращения. Пусть Е — долгота, а 
— широта на сфере (рис. 16.18).
Мы можем выбрать величину Е, так, чтобы она совпадала с 
. Это означает, что точка объекта, получаемая поворотом образующей на угол 
имеет нормаль, которая соответствует точке на гауссовой сфере с долготой 
Рассмотрим на гауссовой сфере небольшой участок, лежащий между Е и 
по долготе и между 
по широте. Площадь его равна 
Нам необходимо лишь найти площадь соответствующего ему участка объекта. Она составляет 
, где 
— приращение длины дуги образующей, соответствующее изменению ориентации поверхности на величину 
Гауссова кривизна равна пределу отношения двух площадей при их стремлении к нулю, т. е.
Кривизна 
образующей — это просто скорость изменения направления ее касательной с изменением длины дуги, т. е. 
, следовательно 
Это можно записать в иной форме, если учесть, что 
где 
— частная производная 
по 
(рис. 16.19). Тогда 
и в результате мы получаем простое выражение 
Например, для сферы радиусом 
имеем 
при — 
. Следовательно, как и ожидалось, 
В некоторых задачах удобнее выражать 
не в зависимости от длины дуги вдоль кривой, а от расстояния вдоль оси. Обозначим это расстояние через 
Тогда 
и поэтому 
вдоль образующей, расстоянием 
от оси и высотой 
над некоторой точкой отсчета. Эти соотношения позволяют вычислить широту 
соответствующей точки на гауссовой сфере.
, где 
. Отсюда видно, что 
и окончательно
Для проверки результата, полученного ранее посредством геометрических рассуждений, в упр. 16.2 мы применим эти формулы к тору.
