П.2. Действия над векторами

Мы будем предполагать, что читатель знаком со свойствами векторных операций сложения, умножения на число, скалярного и векторного произведений. Векторы будут обозначаться полужирными буквами. Обычно мы будем представлять векторы в виде столбцов, и поэтому при их построчной записи необходимо использовать операцию транспонирования, обозначаемую верхним индексом Т.

П.2.1. Сложные произведения векторов

Смешанное произведение определяется следующим образом: с. Абсолютная величина результата не зависит от порядка сомножителей, поскольку она представляет собой объем «натянутого» на векторы параллелепипеда. Знак результата не меняется при циклической перестановке сомножителей. Если три вектора лежат в одной плоскости, то они линейно зависимы и их смешанное произведение равно нулю.

Следующие тождества применимы к другому типу сложного произведения векторов:

Отсюда имеем

Из последних соотношений получаем

Заметьте, что последняя величина всегда неотрицательна. Имеют место тождества

Из них следует, что и поэтому Каждый данный вектор можно выразить через три независимых вектора а, b и с:

Это тождество можно использовать при решении линейных векторных уравнений.

П.2.2. Решение векторных уравнений

Предположим, что нам необходимо найти вектор х, если известны его скалярные произведения с тремя линейно независимыми векторами , т. е. Неизвестный вектор х можно выразить через любые три линейно независимых вектора. Вместо вектора возьмем их попарные векторные произведения и представим х в виде линейной комбинации: Осталось определить три скаляра, и Взяв скалярное произведение написанного выражения с тремя векторами а, b и с, получаем и Таким образом,

Этот же результат можно получить, если заметить, что

Изложенный выше метод эквивалентен решению системы трех уравнений с тремя неизвестными. Поэтому его можно применить для обращения матрицы М размера строками которой служат векторы

Определитель этой матрицы равен Согласно предыдущему результату, матрица, обратная к М, состоит из векторов-столбцов, равных попарным векторным произведениям, деленным на определитель:

Результат легко проверить путем перемножения матриц. Существует аналогичная симметричная форма записи, которая получается, если исходную матрицу рассматривать как состоящую из векторов-столбцов, а не векторов-строк.

Теперь мы перейдем к другим векторным уравнениям. Пусть дано уравнение из которого необходимо найти х. Можно показать, что , откуда при следует

Теперь рассмотрим другое векторное уравнение из которого мы снова хотим найти х. Взяв скалярное произведение с вектором получаем , откуда при следует

Далее рассмотрим задачу определения вектора х, когда известны его длина и скалярные произведения с двумя контрольными векторами т. е. Мы знаем, что, если не параллельны, векторы и линейно независимы. Следовательно, неизвестный вектор можно представить в виде Мы можем найти и и из соотношений

Крометого, и отсюда на Теперь на или Следовательно, имеются два решения: