П.2. Действия над векторами
Мы будем предполагать, что читатель знаком со свойствами векторных операций сложения, умножения на число, скалярного и векторного произведений. Векторы будут обозначаться полужирными буквами. Обычно мы будем представлять векторы в виде столбцов, и поэтому при их построчной записи необходимо использовать операцию транспонирования, обозначаемую верхним индексом Т.
П.2.1. Сложные произведения векторов
Смешанное произведение определяется следующим образом: 
с. Абсолютная величина результата не зависит от порядка сомножителей, поскольку она представляет собой объем «натянутого» на векторы параллелепипеда. Знак результата не меняется при циклической перестановке сомножителей. Если три вектора лежат в одной плоскости, то они линейно зависимы и их смешанное произведение равно нулю.
Следующие тождества применимы к другому типу сложного произведения векторов:
Отсюда имеем
Из последних соотношений получаем
Заметьте, что последняя величина всегда неотрицательна. Имеют место тождества
Из них следует, что 
и поэтому 
Каждый данный вектор 
можно выразить через три независимых вектора а, b и с:
Это тождество можно использовать при решении линейных векторных уравнений.
П.2.2. Решение векторных уравнений
Предположим, что нам необходимо найти вектор х, если известны его скалярные произведения с тремя линейно независимыми векторами 
, т. е. 
Неизвестный вектор х можно выразить через любые три линейно независимых вектора. Вместо вектора 
возьмем их попарные векторные произведения и представим х в виде линейной комбинации: 
Осталось определить три скаляра, 
и 
Взяв скалярное произведение написанного выражения с тремя векторами а, b и с, получаем и 
Таким образом,
Этот же результат можно получить, если заметить, что 
Изложенный выше метод эквивалентен решению системы трех уравнений с тремя неизвестными. Поэтому его можно применить для обращения матрицы М размера 
строками которой служат векторы 
Определитель этой матрицы равен 
Согласно предыдущему результату, матрица, обратная к М, состоит из векторов-столбцов, равных попарным векторным произведениям, деленным на определитель:
Результат легко проверить путем перемножения матриц. Существует аналогичная симметричная форма записи, которая получается, если исходную матрицу рассматривать как состоящую из векторов-столбцов, а не векторов-строк.
Теперь мы перейдем к другим векторным уравнениям. Пусть дано уравнение 
из которого необходимо найти х. Можно показать, что 
, откуда при 
следует
Теперь рассмотрим другое векторное уравнение 
из которого мы снова хотим найти х. Взяв скалярное произведение с вектором 
получаем 
, откуда при 
следует
Далее рассмотрим задачу определения вектора х, когда известны его длина и скалярные произведения с двумя контрольными векторами 
т. е. 
Мы знаем, что, если 
не параллельны, векторы 
и 
линейно независимы. Следовательно, неизвестный вектор можно представить в виде 
Мы можем найти и и 
из соотношений
Крометого, 
и отсюда 
на 
Теперь 
на 
или 
Следовательно, имеются два решения:
