16.6. Дискретный случай

Пусть поверхность разбита на небольшие равновеликие участки и на единицу площади поверхности приходится участков. На каждом участке восстановим вектор нормали и рассмотрим многогранник, образованный пересечением плоскостей, ортогональных к этим нормалям. С уменьшением величины участков, т. е. с увеличением построенный таким образом многогранник все точнее аппроксимирует исходную поверхность.

Расширенный сферический образ исходного выпуклого объекта (с гладкой поверхностью) аппроксимируется совокупностью импульсов, отвечающих участкам разбиения. Величина каждого импульса приближенно равна что соответствует площади каждого участка. Для сильно искривленных поверхностей импульсы распределены по значительной площади гауссовой сферы, в то время как для почти плоских поверхностей они сконцентрированы на небольшом участке. В самом деле, число импульсов, приходящихся на единицу площади гауссовой сферы, приблизительно равно обратному значению гауссовой кривизны, умноженному на величину Это можно показать с помощью введенного выше интеграла от

До тех пор пока импульсы на гауссовой сфере, отвечающие участкам разбиения исходной поверхности, остаются пропорциональными их площадям, само разбиение на такие плоские участки может быть произвольным. Иной подход состоит в разбиении исходной поверхности

Рис. 16.8. Необходимость учета дискретизации двух видов (разбиение поверхности объекта и разбиение поверхности сферы) при отображении информации об объекте на расширенную гауссову сферу. Для каждого элемента разбиения слева находится ориентация поверхности. После этого увеличивается значение переменной, приписанной к соответствующему элементу дискретного представления сферы справа. Дискретная аппроксимация расширенного сферического образа называется гистограммой ориентации.

Рис. 16.9. Вычисление расширенного сферического образа поверхности. облегчаемое благодаря выбору подходящей параметризации поверхности. Используя способ идентификации точек на поверхности с помощью двух параметров и и мы путем дифференцирования легко можем найти касательные направления, а зная касательные, получить локальную нормаль. Площадь каждого участка поверхности также легко находится непосредственно из производных параметрических уравнений.

в соответствии с разбиением на элементы изображения (рис. 16.8). При этом необходимо учитывать сокращение в ракурсе изображения рассматриваемого участка. Реально наблюдаемая площадь поверхности пропорциональна где — угол между нормалью к поверхности и направлением линии наблюдения (рис. 16.6). (При известной нормали этот угол легко определить.) -

Ввиду воздействия помех на измерения яркости вычисленная по изображению ориентация поверхности не будет точной. Аналогично будут искажены значения ориентации, полученные на основе данных о дальности. Поэтому импульсы на сферическом образе будут несколько смещены от их истинных положений. Тем не менее их плотность на гауссовой сфере будет стремиться к значению, равному обратной гауссовой кривизне. Однако импульсы, соответствующие плоской поверхности, не будут совпадать. Вместо этого они будут образовывать небольшой пучок.

Необходимо также рассчитать расширенные сферические образы моделей — прототипов объектов. Лучшее решение в этом случае состоит в том, чтобы найти удобное параметрическое представление поверхности и с его помощью разбить ее на большое число малых по размерам участков. Пусть новерхность задается параметрами и и и в виде вектор-функции (рис. 16.9). Тогда — касательные в точке . Их векторное произведение ортогонально поверхности, и потому мы можем вычислить единичную нормаль:

Знание этой нормали позволяет нам, найти на гауссовой сфере точку, соответствующую рассматриваемому участку поверхности. Разобьем область изменения параметра и на отрезки дайной а область изменения параметра — на отрезки длиной Тогда для вычисления вклада каждого участка на единичной сфере можно использовать следующую

формулу, выражающую его площадь Заметьте, что нам нет необходимости в явном вычислении гауссовой кривизны или вторых производных.