12.6. Дискретный случай

Теперь можно было бы аппроксимировать непрерывное решение с помощью конечно-разностной схемы, однако читатели, недостаточно свободно владеющие вариационным исчислением, возможно, предпочтут следующий прямой метод. Использование величины оптического потока в точке решетки и в соседних с ней точках (рис. 12.5) дает нам меру отклонения от гладкости в виде невязка уравнения оптического потока имеет вид где — полученные из наблюдений скорости изменения яркости по и в точке Мы ишем набор значений которые минимизируют функцию

Дифференцирование по дает

где — локальные средние и и Экстремум имеет место, если

Рис. 12.5. Сумма квадратов первых частных производных и и оцениваемая с помощью разностей компонент оптического потока в соседних точках.

Рис. 12.6. Итеративная схема оценки оптического потока.

Новое значение в некоторой ючке равняется среднему значению по соседним точкам минус поправка в направлении. перпендикулярном ограничивающей прямой.

обе эти Производные равны нулю. Результирующие уравнения можно переписать в виде

Это система уравнений относительно Детерминант матрицы коэффициентов второго порядка равен поэтому

Эти уравнения можно решить теперь относительно Результат непосредственно приводит к следующей итеративной схеме:

Существует интересная геометрическая интерпретация этих уравнений

Рис. 12.7. Оценка первых производных, необходимых в итеративной схеме, с помощью первых разностей в кубе значений яркости.

Оценки осуществляются в точке, в которой сходятся четыре элемента изображения, в момент времени, составляющий половину между двумя последовательными измерениями.

(рис. 12.6). Новое значение в точке полагается равным среднему из окружающих величин минус добавка, направленная в пространстве скоростей по градиенту яркости.

Для вычисления по этой схеме нам необходимы производные яркости по времени и пространству. Их легко получить из разностей значений в узлах решетки (рис. 12.7). Если индексы и к соответствуют значения трех первых частных производных можно получить следующим образом:

Рис. 12.8. Четыре кадра синтезированной последовательности изображений, представляющей сферу, медленно вращающуюся перед хаотично раскрашенным фоном.

Это означает, что скорости оптического потока будут вычислены в точках, лежащих между точками изображения и между последовательными кадрами.

Рис. 12.9. (см. скан) Оценки оптического потока, представленные в виде игольчатых диаграмм после 1, 4, 16 и 64 итераций алгоритма.

Рис. 12.10. (см. скан) а — оценка оптического потока после большою числа итераций; б - вычисленное поле движения.

На рис. 12.8 показаны четыре последовательных синтезированных компьютером изображения вращающейся сферы с гладко изменяющейся окраской поверхности. Производные яркости по времени и пространству, вычисленные по этим картинкам, поступают на вход итеративного алгоритма вычисления оптического потока, описанного выше.

Оптический поток после 1, 4, 16 и 64 итераций представлен на рис. 12.9. На первое приближение сильно влияет яркостная картинка на сфере. После небольшого числа итераций оцениваемые векторы потока сходятся к правильному решению, за исключением контура.

Вычисленное поле движения показано для сравнения на рис. 12.10, б. Полученный оптический поток (рис. 12.10, а) очень мало отличается от поля движения везде, кроме контура фигуры.