9.4. Решение обратной задачи

Нам необходимо решить уравнение в частных производных которое называется уравнением Пуассона. Это уравнение часто возникает при анализе физических проблем.

Мы можем достичь некоторого понимания этой задачи, вводя физическую модель. Рассмотрим сопротивление в виде плоской полоски, через которую пропускается ток. Потенциал в этой области удовлетворяет уравнению Пуассона, если плотность заряда в точке равна Обычно такая задача формулируется с соответствующими граничными условиями. Таких граничных условий в нашем случае нет; мы должны рассматривать область как бесконечно протяженную.

Один из способов решения эллиптического дифференциального уравнения в частных производных состоит в нахождении для него функции Грина Решение дается в виде интеграла

Функция Грина для конкретной задачи зависит от границы области Если граница бесконечно удалена, все точки рассматриваются как равноправные, и интегрирование удобно сводится к свертке

Теперь мы должны найти функцию Грина для уравнения Пуассона.

Заметим, что Используя преобразование Фурье, имеем , где и — Фурье-преобразования соответственно. Вспомним, что взятие лапласиана функции можно представить себе как свертку данной функции со специально обобщенной функцией, преобразование которой равно . Поэтому после применения преобразования Фурье превращается в Тогда, очевидно, и для нахождения функции рассеяния точки мы должны найти обратное преобразование

где как и раньше, функция Бесселя нулевого порядка. Интеграл для не сходится. В частности, он обращается в бесконечность при . С помощью соответствующих множителей сходимости можно показать, что он равен за исключением Здесь с — произвольная константа. Мы покажем в упражнении 9.1, что Этого результата можно достичь с помощью методов, развитых при обсуждении обобщенных функций.