13.3. Абсолютная ориентация

В этом разделе мы предполагаем, что текущие трехмерные координаты известны. Установление соотношения между двумя координатными системами называется абсолютной ориентацией. Мы используем ее, например, когда с помощью стереосистемы определены координаты точек в системе, связанной с камерой, а кроме того, известны координаты этих же точек в другой системе (например, второй стереосистеме или системе, связанной с механическим манипулятором).

Перепишем векторное уравнение в координатной форме:

где первые три столбца коэффициентов являются тремя столбцами матрицы поворота а четвертый столбец — это вектор Эту систему можно непосредственно использовать для вычисления по заданному Здесь мы, наоборот, рассматриваем коэффициенты как неизвестные для определения по заданным величинам

Ясно, что невозможно найти двенадцать неизвестных, если даны только три уравнения. Как можно рвести дополнительные условия? Если есть возможность идентифицировать несколько сопряженных пар, то можно получить несколько таких систем уравнений. Имея, например,

четыре точки, можно выписать двенадцать уравнений, что даст возможность найти двенадцать неизвестных. Эти уравнения линейны, так что решение, вообще говоря, будет единственным, как показано в упражнении 13.4.

13.3.1. Ортогональность матрицы поворота

Подход, описанный выше, не обеспечивает ортогональности матрицы поворота. Погрешности измерений неизбежно приведут к тому, что матрица получится не строго ортогональной. Один из способов обойти эту трудность заключается в вычислении ортогональной матрицы, ближайшей в смысле метода наименьших квадратов к матрице, вычисленной выше простым методом.

Однако лучше ввести шесть условий ортогональности матрицы в явном виде. Выпишем их: поскольку Может показаться, что двух точек в двух координатных системах теперь достаточно, так как шесть уравнений вместе с выписанными только что шестью условиями позволят найти двенадцать неизвестных. Однако это не так. Мы могли бы ожидать появления более одного решения, так как теперь система нелинейна, однако на самом деле это не так.

Указанный подход не работает, поскольку часть имеющейся информации не является независимой. Расстояние между двумя точками должно быть одним и тем же в двух координатных системах: Это следует из условия ортогональности. Таким образом, вторая точка дает не три, а два новых уравнения.

Кроме того, из-за ошибок измерения вторая точка может дать несогласованную информацию. Тогда из трех новых уравнений одно можно исключить (чтобы избежать противоречий) и возникает необходимость в третьей точке. Оказывается, что третья точка дает только одно дополнительное независимое условие, поскольку два из трех уравнений необходимо исключить для устранения несоответствия. Это хорошая иллюстрация того, как лобовой подсчет числа уравнений может ввести в заблуждение. Нужно иметь уверенность в том, что уравнения, которые мы учитываем, независимы и совместны.

Итеративные методы решения этих нелинейных уравнений требуют хороших начальных значений. Их легко найти, если имеется соответствующая информация об относительной ориентации двух координатных систем. Это одна из задач фотограмметрии.

Рис. 13.4. Нахождение связи между двумя системами координат при возможности измерения координат нескольких точек в обеих системах. Для однозначного преобразования необходимы три измерения, а — единственное измерение оставляет свободными три степени свободы движения; б — второе измерение уничтожает все степени свободы, кроме одной; в — третье измерение жестко закрепляет системы координат друг относительно друга.