12.3. Гладкость оптического потока

Теперь введем дополнительное условие. В гл. 17, в которой будет исследоваться пассивная навигация, мы сделаем предположение, что наблюдаемым объектом является твердое тело. В этом случае поворот и перенос камеры относительно объекта будут ключевыми параметрами, которые необходимо восстановить. Такое предположение сильно ограничивает возможные интерпретации и дает дополнительное условие для решения. Однако здесь мы хотим использовать более слабое ограничение, применимое в более общих случаях, например в случае деформируемых упругих тел.

Обычно на большей части изображения поле движения меняется гладко. Мы попытаемся минимизировать меру отклонения от гладкости

т. е. интеграл от квадрата величины градиента оптического потока. Интегральная невязка уравнения оптического потока

также должна быть малой. В целом мы хотим минимизировать , где X — параметр, задающий вес отклонения от уравнения движения изображения по отношению к отклонению от гладкости. Этот параметр должен быть большим при точном измерении яркости и малым при сильном зашумлении измерений. Минимизация интеграла вида

является задачей вариационного исчисления (см. приложение). Соответствующие уравнения Эйлера имеют вид

В нашем случае поэтому уравнения Эйлера будут иметь вид , где — оператор Лапласа. Эту пару эллиптических уравнений второго порядка в частных производных можно решить итеративными методами.