11.6. Стереографическая проекция

Ориентация зависит от двух параметров. Мы можем определить ориентацию площадки заданием ее градиента Другой возможностью является задание единичной нормали Как отмечалось в предыдущей главе, можно использовать гауссову сферу для представления направления нормали. Сама по себе гауссова сфера не всегда удобна для использования, так как ее поверхность криволинейна. Именно поэтому мы часто проектируем ее на плоскость для перехода к пространству градиентов (рис. 11.9, а).

Рассмотрим ось сферы, параллельную оси Мы можем спроектировать точки северной полусферы на плоскость, касательную к северному полюсу, так, чтобы центр проекции совпадал с центром сферы. Это называется гномонической проекцией. Легко показать, что координаты точки на этой плоскости равняются Один из недостатков градиентного пространства (определенной таким образом плоскости) заключается в том, что если мы хотим избежать неоднозначности, то можем спроектировать на плоскость только одну полусферу.

Часто нас интересуют только элементы поверхности, обращенные к наблюдателю. Это соответствует точкам северной полусферы. Однако иногда направления второй полусферы тоже бывают необходимыми. Например, в сцене, освещаемой сзади, направление на источник света можно определить с помощью точки, лежащей на южной полусфере. Мы сталкиваемся также с другой трудностью, связанной с пространством градиентов. Ориентации площадок поверхности на ограничивающем контуре соответствуют точкам экватора гауссовой сферы, которые проектируются в бесконечность в градиентном пространстве.

Один из способов обойти эти трудности заключается в использовании стереографической проекции. Здесь мы снова проектируем на плоскость, касательную к северному полюсу, но на этот раз центром проекции является южный полюс (рис. 11.9, б). Спроектировать можно все точки сферы, за исключением южного полюса. Экватор проектируется в окружность радиуса, равного двум. Обозначим координаты стереографической проекции через Мы покажем в упражнении 11.13, что

И наоборот, Дополнительным преимуществом стереографического пространства является конформность проекции гауссовой сферы. Это значит, что углы на поверхности сферы проектируются в строго равные им углы на плоскости. Однако недостатком является усложнение некоторых формул в стереографических координатах.