11.1.3. Карты отражательной способности, обладающие круговой симметрией

Если источник света имеет распределение, обладающее круговой симметрией относительно наблюдателя, то и карта отражательной способности будет тоже обладать круговой симметрией. Следовательно, можно написать , где -некоторая функция. Один из случаев, приводящих к круговой симметрии, — это полусферическое небо, при условии что наблюдатель смотрит строго сверху вниз. Другой пример — это точечный источник, расположенный в том же месте, где наблюдатель.

Теперь предположим, что функция строго монотонна, дифференцируема и обладает обратной функцией . Из уравнения освещенности изображения получим )]. Направление наискорейшего спуска образует угол с осью х, где поэтому Наклон поверхности в направлении наискорейшего спуска записывается в виде . Таким образом, в этом случае мы можем найти наклон поверхности по ее заданной яркости, однако не можем найти направление наискорейшего спуска.

Предположим, мы узнали направление наискорейшего спуска, заданного градиентом . Тогда в этом направлении можно выбрать малый шаг длиной Приращения х и у будут иметь вид

Приращение по будет определяться равенством

Для упрощения этих уравнений вместо выберем шаг длиной Тогда . Трудность этого подхода состоит в том, что для продолжения решения в новой точке необходимо определить значения и Нам нужны уравнения, определяющие через и соответственно.

Прежде чем обратиться к этой теме, посмотрим на градиент яркости изображения Мы знаем, что плоская площадка поверхности порождает на изображении область однородной яркости. Поэтому ненулевой градиент яркости может возникнуть только в случае, если поверхность криволинейна. Чтобы найти градиент яркости, продифференцируем уравнение освещенности изображения по х и у. Пусть и — вторые частные производные по х и у, т. е. по определению Тогда, используя правило дифференцирования сложных функций, получим где - производная функции по ее единственному аргументу

Теперь вернемся к задаче определения изменений обусловленных приращением на плоскости изображения. Простым

дифференцированием получим . В нашем случае поэтому или Перейдя к пределу при , получим дифференциальные уравнения где точка означает дифференцирование по При заданных начальных значениях эту систему пяти обыкновенных дифференциальных уравнений можно решить численно, что даст некоторую кривую на поверхности объекта. Порожденные таким образом кривые называются характеристическими линиями, а в данном частном случае они оказываются и линиями наискорейшего спуска. Эти кривые везде перпендикулярны линиям постоянного уровня. В рассмотренном выше случае, когда карта отражательной способности представляла линейную функцию от и характеристические линии были параллельными плоскими сечениями поверхности.

Дифференцируя еще раз по получим другие выражения . Эти уравнения, конечно, можно решать только численно, так как — измеренные значения яркости, а не аналитически заданные функции от х и у.

Рассмотренный частный случай имеет практическое значение, так как изображения, полученные с помощью сканирующего электронного микроскопа, аналогичны изображениям, полученным с помощью оптической системы, в которой источник света располагается рядом с наблюдателем и обладает вращательной симметрией. В электронном микроскопе сфокусированный пучок электронов ударяет поверхность в точке, определяемой двумя ортогональными отклоняющими катушками. В результате столкновения первичных падающих электронов и атомов вещества генерируются вторичные электроны, некоторые из которых отрываются и собираются электродом. Поскольку они генерируются в глубоких слоях вещества, то имеют меньше шансов выбраться наружу по сравнению с электронами поверхностного слоя. Поэтому вторичный поток электронов беднее при падении пучка на поверхность под прямым углом и богаче при касательном падении. Зондирующий луч сканирует растр, а яркость ЭЛТ при синхронном сканировании модулируется пропорционально току вторичных электронов. Результатом является (сильно увеличенное) изображение поверхности. Люди находят, что такие изображения легко расшифровывать, поскольку они обнаруживают распределение полутонов, возникающее благодаря зависимости яркости от ориентации поверхности. Единственная странность таких электронно-микроскопических изображений заключается в том, что площадки поверхности, перпендикулярные лучу зрения, кажутся самыми темными, а не самыми яркими.