12.2. Оптический поток

Яркостные картинки движутся вместе с наблюдаемыми объектами. Оптическим потоком называется кажущееся движение яркостной картинки. В идеале оптический поток соответствует полю движения, однако мы покажем ниже, что это не всегда так.

Рис. 12.2. Оптический поток, не всегда совпадающий с полем движения. а — гладкая сфера вращается при постоянном освещении — изображение не изменяется, хотя поле движения ненулевое; б - неподвижная сфера освещается движущимся источником — распределение освещенности изображения меняется, хотя поле движения равно нулю.

Рассмотрим идеально однородную сферу, вращающуюся перед объективом зрительной системы (рис. 12.2, а). Так как поверхность криволинейна, на изображении сферы будут наблюдаться пространственные изменения яркости. Однако эта яркостная картина не движется вместе с поверхностью и изображение не меняется во времени. В данном случае всюду оптический поток равен нулю, хотя поле движения отлично от нуля. Теперь рассмотрим неподвижную сферу, освещенную движущимся источником света (рис. 12.2, б). Яркости на изображении меняются с движением источника. В этом случае оптический поток, очевидно, ненулевой, хотя поле движения всюду равно нулю. Зеркальные отражения и тени дают другие примеры, когда оптический поток не совпадает с полем движения.

Нам доступен только оптический поток, и мы будем исходить из предположения, что в обычном случае оптический поток не слишком сильно отличается от поля движения. Это позволяет нам оценивать относительное движение, исходя из изменения изображения во времени.

Что мы понимаем под кажущимся движением яркостной картины? Рассмотрим на изображении точку Р, имеющую яркость Е в момент (рис. 12.3). Какая точка Р изображения будет соответствовать ей в момент иными словами, как движется яркостная картина в этом временном интервале? Обычно в окрестности точки Р находится много

точек с одинаковой яркостью Е. Если в интересующей нас части изображения яркость изменяется непрерывно, то точка Р будет лежать на линии равной яркости С. В момент ей будет соответствовать линия равной яркости С с тем же значением Е. Однако каково соответствие между точками линий С и С? На этот вопрос ответить непросто, так как при движении форма этой линии обычно изменяется.

Таким образом, отметим, что оптический поток на изменяющемся изображении неоднозначно определяется локальной информацией. Поясним это еще одним примером. Рассмотрим участок однородной яркости на изображении, который не изменяется со временем. «Самым правдоподобным» в этом случае будет нулевой оптический поток. На самом же деле внутри однородного пятна мы можем приписать точкам любые скорости, какие хотим. Хотя, по-видимому, мы предпочли бы простейшее объяснение наблюдаемых изменений изображения (в данном случае отсутствие таких изменений).

Пусть — освещенность в точке изображения в момент времени . Тогда, если и у-компоненты вектора оптического потока в этой точке, можно ожидать, что освещенность будет той же самой в момент в точке где Иными словами, для малого интервала времени Этого единственного ограничения недостаточно для однозначного определения двух неизвестных и и V. Ясно также, что нам хотелось бы воспользоваться тем, что поле движения почти везде непрерывно.

Если яркость изменяется гладко по и то мы можем разложить левую часть уравнения в ряд Тейлора и отсюда получить

где в содержит члены высших порядков малости по начиная

Рис. 12.3. Кажущееся движение яркостной картины.

Непросто решить, какая точка Р на линии уровня яркости С второго изображения соответствует данной точке Р на линии уровня яркости С первого изображения.

Рис. 12.4. Локальная информация о градиенте яркости и скорости ее изменения во времени, накладывающая на компоненты вектора оптического потока лишь одно ограничение. Необходимо, чтобы скорость потока была направлена вдоль прямой линии, перпендикулярной направлению градиента яркости. Мы можем определить только компоненту, направленную вдоль градиента яркоспт Ничего неитвестно относительно компоненты скорости потока в перпендикулярном направлении.

со второго. Сократим разделим на и перейдем к пределу при Тогда получим

Коротко это уравнение можно написать в виде где в левой части стоит полная производная Е по времени. Введя сокращения получим Производные и Е, получают из изображения. Это уравнение называют уравнением оптического потока. Оно накладывает ограничение на компоненты и и оптического потока.

Рассмотрим двумерное пространство с осями и которые мы назовем пространством скоростей (рис. 12.4). Значения пар , удовлетворяющих уравнению оптического потока, в пространстве скоростей лежат на прямой линии. Единственное, что можно сделать с помощью локальных измерений, — это найти эту прямую. Можно переписать уравнение оптического потока в виде Компонента оптического потока в направлении градиента яркости описывается отношением Мы не можем определить компоненту оптического потока, перпендикулярную этому направлению, т. е. направленную вдоль линии постоянной яркости. Эта неоднозначность также известна как проблема апертуры.