6.4. Преобразование Фурье и фильтрация

Входной сигнал можно рассматривать как сумму бесконечного числа синусоидальных гармоник (как ранее мы представили его в виде суммы бесконечного числа импульсов). Это является еще одним удобным способом разложения входного сигнала, поскольку при заданной передаточной функции нам известна реакция системы на каждую компоненту разложения. Если функцию представить в виде

то

(Множитель добавлен сюда для согласования с формулой,

приводимой ниже.) Единственная проблема состоит в том, что разложение на гармонические сигналы совсем не так тривиально, как разложение на импульсы. Как найти функцию если дана Как будет показано позже, ответ будет следующим:

если этот интеграл существует. В справедливости приведенного соотношения можно убедиться, произведя замену переменных

и подставив выражение для

Внутренний интеграл не сходится. С помощью так называемых множителей сходимости мы позже покажем, что его можно считать равным . Поэтому имеем

так что

Функция называется преобразованием Фурье функции Подобным же образом мы можем определить преобразование Фурье для выходного сигнала Так что окончательно что проще, чем выражение

Таким образом, операцию свертки мы заменили операцией умножения!

Мы еще раз видим, что передаточная функция характеризует то, как система ослабляет или усиливает каждую компоненту входного сигнала. Поэтому линейная пространственно-инвариантная система действует как фильтр, который селективно ослабляет или усиливает различные части спектра имеющихся частот. Она также может

изменить их фазу, но это все, на что она способна. Отсюда нетрудно прийти к выводу о том, что, ограничивая себя линейными пространственно-инвариантными системами, мы значительно сужаем границы достижимого, но одновременно это позволяет нам получить много полезных результатов, поскольку математический аппарат оказывается доступным.

Обратите внимание на небольшую асимметрию в прямом:

и обратном:

преобразованиях Фурье. Постоянные множители здесь разделены так, чтобы соответствовать принятой в других книгах форме записи. То, что преобразования почти симметричны, позволяет свойства, применимые к прямому преобразованию, переносить на обратное преобразование. Однако необходимо иметь в виду, что в общем случае комплексная функция, тогда как — действительная. Заметьте также, что — преобразование Фурье функции

Не для всех функций можно найти преобразование Фурье. Функции из некоторых простых классов равны интегралам Фурье от их преобразований Фурье. Однако трудно точно описать, какие функции допускают преобразование Фурье, а какие — нет.

Другого типа трудность связана с тем, что интегралы берутся по всей плоскости ху, тогда как зрительные устройства дают практически пригодные изображения только на ограниченной части плоскости изображения. Более того, в компьютерах используется только дискретное по пространству представление этих изображений. Более детально эти два вопроса будут рассмотрены в следующей главе.