6.13. Оптимальная фильтрация и подавление шума

Данный раздел, относящийся к оптимальной фильтрации, требует некоторого терпения при прослеживании нетривиальных математических выкладок. Нетерпеливый читатель при первом чтении может его пропустить без серьезного ущерба для дальнейшего понимания. Однако позже имеет смысл к нему вернуться, поскольку это первое место в книге, где вводятся приемы вариационного исчисления.

Допустим, мы имеем сумму полезного сигнала и шума и . Наша задача — как можно точнее восстановить сигнал Мерой того, насколько хорошо нам это удалось сделать, будет интеграл от квадрата разности между выходным и искомым сигналами (рис. 6.11). Обычно — это просто Мы выбрали минимизацию интеграла от квадрата ошибки, поскольку при такой постановке задача поддается аналитическому решению. (Именно это обстоятельство, естественно, является реальной причиной популярности метода наименьших квадратов и его аналогов.)

Нам нужно минимизировать квадрат ошибки

Рис. 6.11. Оптимальный фильтр, представляющий собой фильтр, который минимизирует разность между выходным и требуемым сигналами. При этом шум добавляется к входному сшналу линейной пространственно-инварианшой системы с функцией рассеяния точки

Если фильтрация будет осуществляться линейной системой, то мы можем охарактеризовать ее функцией рассеяния точки На вход системы поступает сигнал а с выхода мы снимаем сигнал Таким образом,

Поскольку то

и, следовательно,

Где - автокорреляция Более того,

к поэтому

где — взаимная корреляция функции Наконец, последний член имеет вид

где — автокорреляция Теперь мы можем переписат выражение для минимизируемой ошибки в виде

Это выражение нужно минимизировать путем выбора импульсной функции Такая задача относится к вариационному исчислению. (Блее подробно вариационное исчисление рассматривается в приложении.) Мы будем ее решать с помощью основного метода этого раздела математики. В типичной вариационной задаче отыскивается такое значение параметра, которое приводит к стационарному значению заданной функции. В нашем случае вместо этого необходимо найти функцию, которая дает стационарное значение заданного функционала. Функционал — это выражение, зависящее от функции, как, например, приведенная выше величина Е зависит от

Допустим, что функция обеспечивает минимальное значение Е, и пусть — произвольная функция, используемая для изменения Тогда независимо от выбора функция приведет к значению функционала, которое не может быть меньше Е. Пусть это значение равно Если мы действительно имеем минимум, то для всех (при ). Если бы это было не так, то мы могли бы уменьшить Е, добавив к вариацию умноженную на малую скалярную величину, и тем самым вошли бы в противоречие с предположением об оптимальности Далее

или

Поскольку это выражение должно равняться нулю для произвольной функции то выражение в квадратных, скобках должно быть нулем, откуда

т. е., как это ни удивительно, Это простое уравнение

относительно функции можно решить, используя преобразование Фурье где энергетические спектры. Таким образом, чтобы в рамках принятых допущений построить систему, восстанавливающую изображение, достаточно знать эти спектры. Одна и та же система будет оптимальной не для одного, а целого класса изображений. (Иначе она, естественно, и не представляла бы особого интереса.)

В качестве примера рассмотрим систему, подавляющую шум, т. е. такую систему, на вход которой поступает сумма изображения и шума а на выходе формируется сигнал о ближайший (в смысле метода наименьших квадратов) к исходному изображению Здесь Следовательно, , как легко убедиться, вспомнив определения Теперь допустим, что шум не коррелирует с полезным сигналом, т. е. Тогда Отсюда ясно, как работает оптимальный фильтр. В тех частях спектра, где отношение сигнал — шум велико, усиление почти равно единице; в частях, где превалирует шум, коэффициент усиления очень мал и равен приблизительно т. е. просто отношению полезного сигнала к шуму.

Теперь рассмотрим случай, когда перед сложением с шумом сигнал пропускается сквозь систему с функцией рассеяния точки Результат и необходимо пропустить через систему с функцией рассеяния точки Необходимо, чтобы выходной сигнал был как можно ближе к исходному изображению (в смысле метода наименьших квадратов). Здесь поэтому Ф Предполагая, что шум не коррелирует с полезным сигналом, получаем Если в некоторой части спектра отношение сигнал — шум велико, то тогда как в области, где коэффициент усиления ограничен величиной, приблизительно равной Обратите внимание на совпадение этого результата с ранее полученным эвристически.

Наконец, может оказаться поучительным рассмотреть оптимальный фильтр для восстановления не исходного изображения, а уже прошедшего определенную обработку. Допустим, нам нужно оценить по методу наименьших квадратов сигнал где — функция рассеяния точки обрабатывающего фильтра. Тогда где - преобразование Фурье функции Таким образом, Оптимальный фильтр представляет собой просто каскад оптимального фильтра, восстанавливающего изображение и обрабатывающего фильтра . Ничего другого и не требуется.

Здесь необходимо указать на то, что в нашем случае построение оптимального фильтра намного проще, чем в одномерном случае.

Дело в том, что в одномерной системе импульсный отклик должен быть однонаправленным, так как он не может опережать входной сигнал. Ограничения во временной области не так просто выразить через ограничения в частотной области. Например, ограничение при трудно выразить через функцию представляющую собой преобразование Фурье функции . К счастью, в случае изображений подобной проблемы не существует, поскольку носитель функции рассеяния точки может распространяться от начала координат по всем направлениям. Носителем функции называется множество точек, в которых эта функция не равна нулю.