16.10. Гауссова кривизна в общем случае

Пусть — параметрические уравнения заданной поверхности. Пусть — вектор точки этой поверхности. Тогда — две касательные к поверхности. Их векторное произведение будет перпендикулярно к касательной плоскости в рассматриваемой точке. Квадрат длины этого вектора нормали составляет поскольку . С помощью полученного выражения можно вычислить единичную нормаль

Гауссова кривизна является пределом отношения площадей участка на гауссовой сфере и соответствующего ему участка на поверхности при стягивании последнего в точку. Рассмотрим бесконечно малый треугольник, образованный тремя точками на поверхности, соответствующими значениям параметров . Длины двух сторон этого треугольника составляют тогда как синус угла между ними равняется отношению

Поэтому внешняя нормаль, длина которой равна площади треуголь»

ника, имеет вид Для определения площади соответствующего треугольного участка на гауссовой сфере необходимо найти единичные нормали в трех выбранных точках. Если отбросить члены более высокого порядка малости, то этими нормалями являются частные производные по . Заметьте, что перпендикулярны Площадь интересующего нас участка гауссовой сферы по соображениям, аналогичным тем, которые обосновывали выражение для площади исходного участка заданной поверхности, дается длиной вектора Чтобы вычислить эту площадь, необходимо найти Сначала запишем . Из получаем так что

и аналогично

поскольку . Следовательно, или ввиду того, что , где, как и ранее, через обозначено смешанное произведение,

Эта формула показывает, что участок на гауссовой сфере имеет такую же ориентацию, что и участок поверхности, как оно и должно быть. Внешняя нормаль длиной, равной площади участка, дается выражением Отношение двух площадей, т. е. гауссова кривизна, определяется отношением Теперь поэтому

Используя тождество или получаем

откуда и окончательно

Этот результат можно использовать для более строгого вывода формулы гауссовой кривизны тела вращения.

В стандартных обозначениях первой и второй фундаментальных

форм поверхности используются скалярные произведения и смешанные произведения

поэтому мы также можем записать . Если поверхность задана в виде функции то эта формула сводится к известной формуле