15.3. Градиентное пространство
Если известны координаты вершин, можно определить уравнения плоскостей, в которых лежат грани. И наоборот, мы можем сначала определить их, а затем вычислить координаты вершин. Сейчас будем рассматривать случай ортогональной проекции. Будем определять ориентацию каждой грани. Если уравнение плоскости имеет вид 
то 
Градиент 
можно использовать для определения ориентации плоскости. Каждая грань многогранника соответствует точке в градиентном пространстве. Необходимо определить расположение этих точек.
Какие имеются ограничения на положение таких точек в градиентном пространстве? Оказывается, что линии на изображении играют очень важную роль. Предположим, что имеются две плоскости с нормалями 
Линия их пересечения должна быть параллельна векторному произведению двух нормалей 
Ортогональная проекция этого вектора на плоскость изображения описывается выражением 
где 
— единичный вектор вдоль оптической оси. Его можно записать в виде 
или 
поскольку 
Следовательно, линия изображения, являющаяся проекцией ребра, параллельна 
Точки А и В градиентного пространства, соответствующие двум плоскостям, описываются выражениями 
соответственно. Линия, соединяющая эти две точки градиентного пространства, параллельна линии 
Ранее мы видели, что эта линия на изображении параллельна 
Поэтому линия градиентного пространства должна быть перпендикулярна линии изображения!
Каждая линия, разделяющая области, порождает одно ограничение такого рода. В случае куба мы получаем три ограничения (по одному для каждой линии, исходящей наружу от вершины, обращенной к
наблюдателю). Если точки градиентного пространства, соответствующие трем видимым областям, — это точки А, В и С, то они образуют треугольник, углы которого определяются углами между тремя линиями, исходящими из центральной вершины. Эти три ограничения определяют форму и ориентацию фигуры в градиентном пространстве, но не размер и положение.
Линейный рисунок, который не соответствует какому-либо многограннику, не имеет хорошо организованной фигуры в пространстве градиентов. Например, если две грани пересекаются по двум ребрам, то эти ребра должны быть коллинеарны, конечно, если только эти две плоскости не имеют одинакового градиента.
