7.4. Дискретное преобразование Фурье

Преобразование Фурье дискретного изображения является периодическим. Если это изображение рассматривать как часть продолженного до бесконечности периодического изображения, то его преобразование

Фурье оказывается также дискретным. Таким образом, как изображение, так и его фурье-образ периодичны и дискретны. Оба полностью определяются конечным набором значений. Если изображение задается значениями функции в точках

1, то прямое преобразование Фурье можно записать в виде

а обратное — в виде

Здесь мы снова имеем почти симметричные определения прямого и обратного преобразований. По поводу существования преобразований никаких вопросов не возникает, поскольку они представляют собой конечные суммы конечных величин.

Заметьте, что рассматриваемое преобразование относится к изображению, которое периодично в двух направлениях. При несовпадении значений яркости на левом и правом краях изображения функция яркости в месте стыка соседних экземпляров изображения будет иметь разрыв. Даже если само изображение очень гладкое, подобный разрыв приведет к появлению в фурье-образе некоторых высокочастотных составляющих. Существует несколько путей борьбы с этим нежелательным явлением. Один из них состоит в зеркальном переворачивании копий изображения относительно боковых сторон перед их подстыковкой слева и справа. Аналогичную процедуру можно применить к верхней и нижней границам перед размножением изображения вверх и вниз. В окончательном периодическом в обоих направлениях изображении функция яркости непрерывна, однако ее нечетные производные на линиях стыковки все-таки имеют разрывы. Ложные спектральные компоненты все же появятся, однако они оказываются по крайней мере меньше тех, которые вызываются разрывами в самой функции яркости.

Результирующая функция является периодической, хотя ее период в два раза больше первоначального, когда мы просто дублировали изображение, не переворачивая его. В то же время она четна как по х, так и по у, ввиду чего в преобразовании могут появиться только косинусные компоненты. Полученное таким образом дискретное преобразование, называемое косинусным преобразованием, изучается ниже, в упр. 7.6.

Иной способ уменьшения эффектов, связанных с возможными разрывами на границах изображения, заключается в его модуляции путем умножения на функцию, обращающуюся в нуль на границе. При

этом соседние экземпляры изображения окажутся автоматически согласованными. Сама модулирующая функция должна быть настолько гладкой, чтобы не вносить искажения в результат. Такую функцию часто называют функцией выделения окна, поскольку она как бы дает нам возможность взглянуть на потенциально неограниченное изображение сквозь окно с изменяемой степенью прозрачности.

Пример простой функции выделения окна:

Ранее мы убедились в том, что как свертке в пространственной области отвечает умножение в частотной области, так умножению в пространственной области отвечает свертка в частотной области. Следовательно, преобразование Фурье промодулированного изображения равно умноженной на свертке фурье-образа исходного изображения с фурье-образом функции выделения окна. Тем самым фурье-образ исходного изображения несколько смазывается в результате применения операции выделения окна. Для приведенной выше функции выделения окна преобразование Фурье имеет вид

Каждое значение фурье-образа представляет собой взвешенную сумму соседних значений, находящихся в рамке размера Вес центральной ячейки составляет 1/4, четырех ячеек, примыкающих по сторонам, — 1/8, а четырех угловых ячеек — 1/16. Такую схему свертки можно представить следующей маской:

Маской называется набор используемых для вычисления свертки весовых коэффициентов, расположенных таким образом, чтобы отражать пространственные отношения между элементами, к которым они применяются.

Одна из причин того внимания, которое мы уделяем дискретному преобразованию Фурье, вызвана тем, что известен эффективный алгоритм его реализации. Прямой алгоритм, при котором каждое значение вычисляется отдельно, требует умножений для нахождения каждого из результатов, так что всего необходимо умножений.

Быстрое преобразование Фурье (БПФ) требует для вычисления всех значений всего лишь умножений за счет более эффективного использования промежуточных результатов. Поэтому оказывается целесообразным вычислять свертку путем выполнения преобразования Фурье, умножения и обратного преобразования. Несмотря на это, многие современные аппаратные решения в параллельных устройствах направлены на поддержку прямых методов вычисления свертки.

Теперь обратимся к шуму на изображениях. Дискретное преобразование Фурье изображения, которое является обычным шумом, будет, конечно, зависеть от конкретных значений яркости каждого элемента изображения (пиксела). Можно ли о нем сказать нечто более общее? Нас интересуют возможные значения каждого преобразованного числа. Имеем

Здесь каждое из — случайная величина, независимая от остальные. Допустим, что могут принимать комплексные значения. Тогда

также случайная величина, имеющая случайную фазу, если фаза случайна. Поэтому каждое значение получается суммированием независимых случайных величин.

Теперь, если еще предположить, что распределены нормально с нулевым средним и стандартным отклонением а, то как нетрудно заключить, также имеют среднее значение, равное нулю. Стандартное отклонение будет равно , поскольку стандартное отклонение суммы величин в раз превышает стандартное отклонение каждой отдельной величины. Далее можно показать, что результирующие величины независимы. Следовательно, преобразование обладает свойствами, которые идентичны свойствам исходного изображения (с точностью до скалярного множителя), а именно: преобразование — это совокупность независимых случайных величин с нулевым средним и стандартным отклонением .