11.9. Комментарии к литературе
Сканирующий электронный микроскоп описан в работе [108]. Много интересных изображений, полученных с помощью этого прибора, приведено в работах [66, 93].
Существует много книг по дифференциальным уравнениям в частных производных, в том числе «Дифференциальные уравнения в частных производных: «Теория и методы» Кэрье и Пирсона [16] и т. 2 «Методов математической физики» Куранта и Гильберта [22]. Но самое близкое отношение к уравнениям первого порядка, рассмотренным в этой главе, имеет работа [35].
Вариационное исчисление также является темой многих книг, включая [21, 107]. В нескольких упражнениях мы связываем методы, используемые в этой главе, с методами регуляризации, превращающими плохо поставленные задачи в хорошо поставленные. Регуляризация описывается в работе [102].
Большой интерес был проявлен к определению формы особенностей поверхности Луны по изображениям, полученным с помощью телескопа с Земли, по крайней мере пока мы не научились посылать зонды и, наконец, человека в окрестность нашего каменистого спутника. Поскольку влияние Луны, а также отношение радиуса Земли к расстоянию между этими двумя телами малы, то мы всегда видим Луну примерно в одном и том же направлении. Поэтому бинокулярный стереометод можно отбросить и в этом случае не считать жизнеспособным для восстановления формы поверхности. Астрономы использовали тени для оценки формы кромки кратеров, возвышающихся над окружающей поверхностью.
Ван Дайжелен [464] первым заметил возможность использования полутонов, но он смог сделать только эвристические оценки наклона поверхности по отношению к направлению на источник света. В работе [393] использованы фотометрические модели, развитые в России Фесенковым [203] и другими для построения метода комплексного интегрирования при восстановлении формы вдоль профилей, известных нам теперь как характеристические кривые.
Хорн [244, 248] нашел общее решение задачи восстановления формы по полутонам и позже в работе [250] переработал решение для использования карты отражательной способности. Вудхэм [480, 482, 483] дает прекрасный анализ этой темы, используя в качестве инструмента матрицы Гессе.
Существование и единственность решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка исследовались в работах [159, 166— 168, 186].
Хорн [244] нашел способ переформулировать задачу так, чтобы решение имело вид параллельного итеративного алгоритма на сетке, очень похожего на тот, который он позже использовал для вычисления
светлоты [247]. Первый такой алгоритм развит в работе [436]. Однако этот алгоритм не мог работать по ограничивающему контуру, так как в нем для параметризации ориентации поверхности использовался градиент. Икехи и Хорн [278] выправили положение, введя стереографические координаты и член «недостатка гладкости», известный в настоящее время как регуляризующий член. (Относительно других подходов к параллельным вычислениям в зрении см. работу [131]. Обсуждение применения регуляризации при решении плохо поставленных задач первичной обработки зрительной информации содержится в работе [382].)
К сожалению, метод Икехи и Хорна в свою очередь не гарантирует интегрируемость результирующей игольчатой диаграммы. Хорн и Брукс [257] исправили этот недостаток, используя для параметризации ориентации поверхности нормаль к этой поверхности. В этой работе они избежали использования регуляризующего члена.
Форму можно также определить по градиенту текстуры или регулярному рисунку (см. работы [128, 244, 276, 472]). Однако эти методы по существу проще, так как в каждой точке изображения имеется больше информации, чем в случае использования распределения полутонов.
Большинство методов восстановления формы по полутонам требуют наличия карты отражательной способности. Предпринимались попытки уменьшить зависимость от столь подробной информации. Например, в работе [379] делается попытка локального извлечения информации. Это с неизбежностью требует сильных предположений, например, поверхность является сферической. Локальные методы не могут дать единственного результата, так как из работ [159, 166—168] известно, что особые точки и ограничивающие контуры дают сильные ограничения, не достижимые методом, который рассматривает только распределение полутонов в малой области изображения.
Компромиссом между точным знанием карты отражательной способности и полным ее незнанием является использование параметризованной карты отражательной способности. Например, при некоторых предположениях можно восстановить положение источника света по изображению (см. работы [160, 308, 378]).
Кое-что можно сказать о взаимосвязи между распределением полутонов и формой поверхности, подробно не решая уравнение освещенности изображения (см. работу [299]). Существенную информацию дает контур изображения объекта. Марр [327] занимался восстановлением информации о форме поверхности по ограничивающему ее контуру, а Стивенс [435] — по специальным контурам на поверхности.
Много труда было потрачено на понимание взаимодействия света с поверхностным слоем объекта. Обычно модели поверхностного слоя либо слишком сложны и поэтому поддаются только численному анализу, либо слишком просты и поэтому не представляют практического интереса. Фотометрическая модель лунной поверхности была
уточнена в работе [345], соответствующая функция отражения используется в упражнении 11.1. Удачные модели глянцевого отражения бьши развиты в работах [453, 454].
11.10. Упражнения
(см. скан)
