18.7. Вычисление моментов
Нетрудно вычислить матрицу инерции распределения масс на сфере. Нам необходимы лишь моменты первого и второго порядков. Затем можно найти поворот, который превращает матрицу в диагональную. Оси координат после поворота называются главными осями. Угол
Рис. 18.7. Момент инерции распределения масс, зависящий от оси, относительно которой этот момент измеряется. Существуют три стационарных значения момента инерции (максимум, минимум и седловая точка). Оси, соответствующие этим экстремумам, называются главными осями и лежат под прямыми углами друг к другу. Два распределения масс, повернутых относительно друг друга, можно согласовать выставкой их главных осей.
поворота между двумя расширенными гауссовыми образами одного объекта можно найти, вычислив угол поворота между главными осями (рис. 18.7), Это дает нам точный алгоритм непосредственного вычисления положения объекта относительно его прототипа. Этот метод не работает только в тех случаях, когда объект слишком симметричен и не имеет единственных главных осей. Предлагаемый алгоритм заключается лишь в вычислении собственных векторов матрицы размером 3x3, что в свою очередь требует решения кубического уравнения.
Здесь мы не можем использовать столь изящный метод, поскольку экспериментальная гистограмма ориентации известна лишь для части сферы. Более того, при сопоставлении необходимо учитывать эффект кажущегося сокращения поверхности. Однако мы не должны полностью отказываться от методов, основанных на вычислении моментов.
Например, мы знаем, что центр масс полного расширенного гауссового образа всегда находится в начале координат. Следовательно, при сопоставлении от этого мало пользы. Однако центр масс видимой полусферы находится в точке, зависящей от разворота объекта. Рассмотрим плоскость, которая делит сферу на видимую и невидимую полусферы. Ясно, что центр масс видимой полусферы находится несколько выше этой плоскости. В упражнении 18.2 будет показано, что эта высота над плоскостью, умноженная на массу, находящуюся в центре масс, равна кажущейся площади, видимой наблюдателю. В то же время масса в центре масс равняется фактической площади видимой поверхности. Таким образом, высота над плоскостью пропорциональна отношению площадей фактической и видимой поверхностей. Обычно ее величина изменяется с изменением направления наблюдения. Кроме того, боковое смещение центра масс зависит от разворота объекта в пространстве.
Поскольку центр масс видимой полусферы неоднозначно определяет разворот объекта, его можно использовать для сокращения объема дальнейших вычислений. Чтобы ускорить процесс сопоставления, можно предварительно вычислить ожидаемый центр масс по заданным прототипическому расширенному гауссову образу и набору направлений наблюдения, для которых делается попытка сопоставления. Для удобства в качестве дискретного набора направлений наблюдения, для которых выполняется это вычисление, можно выбрать направления к элементам гауссовой сферы. Любое направление наблюдения, для которого центр масс не находится хотя бы в приблизительно правильной позиции, не нужно подвергать более детальному исследованию.
