11. Карта отражательной способности: восстановление формы по полутонам
В предыдущей главе мы ввели карту отражательной способности и уравнение освещенности изображения и использовали их для восстановления ориентации поверхности по известным изображениям, полученным в различных условиях освещения. В этой главе мы займемся восстановлением формы поверхности по единственному изображению. Это более трудная задача, требующая более развитого аппарата. Сначала мы исследуем случай линейной карты отражательной способности. Оказывается, что при освещении точечным источником карта отражательной способности поверхности лунных морей или каменистых планет (например, Меркурия) является функциями линейных комбинаций компонент градиента. Затем рассмотрим задачу восстановления поверхности по распределению полутонов, когда карта отражательной способности поверхности обладает вращательной симметрией. Наконец, мы решим задачу в общем случае.
Уравнение освещенности изображения можно рассматривать как нелинейное уравнение в частных производных первого порядка. В традиционных методах решения таких уравнений используется распространение решений вдоль характеристик. Это последовательный процесс. Нас больше интересуют методы, ведущие к параллельным алгоритмам. Вследствие этого мы формулируем задачу минимизации, которая приводит к релаксационному алгоритму на сетке. Для минимизации мы выбираем интеграл от разности между наблюдаемой и вычисленной яркостями для определяемой формы поверхности.
Конечно, очень важно знать, существует ли решение этих задач и единственно ли оно? К сожалению, вопросы существования и единственности трудно решить без подробных предположений о карте отражательной способности. Мы кратко рассмотрим, что известно с этой точки зрения, и закончим главу демонстрацией того, как идеи, развитые в ней, можно приложить к улучшению результатов, полученных с помощью стереофотометрического метода, который был рассмотрен в предыдущей главе.
11.1. Восстановление формы по полутонам
Как можно восстановить форму поверхности по единственному изображению?
Различные части поверхности имеют различную ориентацию и поэтому видны с различной яркостью. Мы можем воспользоваться этими пространственными изменениями яркости, в данном случае называемыми распределением полутонов, для оценки ориентации площадок поверхности. Однако измерение яркости в одной точке дает только одно соотношение, в то время как ориентация зависит от двух параметров. Без привлечения дополнительной информации мы не можем восстановить ориентацию площадки поверхности по уравнению освещенности изображения 
Мы уже обсуждали один из способов введения другого ограничения: использование дополнительных изображений, полученных при других условиях освещения.
11.1.1. Распространение решения
Что делать, если в нашем распоряжении только одна картинка? Человек воспринимает черты лица (как геометрическую форму) по одной фотографии в журнале. Это должно означать либо что такой информации достаточно, либо что мы неявно вводим дополнительные предположения. Большинство поверхностей гладкие, не имеющие разрывов по дальности. Частные производные также обычно непрерывны. Более широкий класс объектов имеет кусочно-гладкие поверхности с нарушением гладкости вдоль ребер.
Предположение гладкости является сильным ограничением. Соседние площадки поверхности нельзя считать ориентированными произвольно. Соединяясь, они должны образовывать непрерывную гладкую поверхность. Таким образом, можно рассмотреть глобальный метод, основанный на предположении гладкости. 
