10.8. Ориентация поверхности

Функция ДФОС имеет фундаментальное значение при изучении отражения от поверхности. Однако это не совсем то, что нужно, при изучении формирования изображения. Прежде всего, чтобы свести воедино распределение источников света, мы должны проинтегрировать ДФОС по всем возможным направлениям падения света. Это дает нам функцию, зависящую только от двух параметров. Мы можем связать эти два параметра с ориентацией, очень важной характеристикой изображаемой поверхности. Однако чтобы успешно проделать это, необходимо отказаться от локальной координатной системы, используемой при определении ДФОС, и использовать вместо нее систему координат, связанную с наблюдателем.

Для начала составим разумное представление об ориентации поверхности. В каждой точке гладкая поверхность имеет касательную плоскость. Ориентацию этой плоскости можно принять за ориентацию поверхности в этой точке. Нормаль к поверхности, т. е. единичный вектор, перпендикулярный касательной плоскости, удобно использовать для определения ориентации этой плоскости. Вектор нормали определяется двумя параметрами, так как его три компоненты связаны одним ограничением, а именно: равенством единице суммы квадратов компонент.

Рассуждая иначе, мы можем мысленно поместить начало вектора нормали в центр единичной сферы, называемой гауссовой сферой. Конец вектора касается сферы в некоторой точке, характеризующей ориентацию поверхности. Положение точки на сфере определяется двумя параметрами, скажем полярным углом и азимутом или широтой и долготой.

Мы должны зафиксировать систему координат, по отношению к которой проводятся эти измерения. Удобно выбрать эту систему так, чтобы одна из ее осей была направлена вдоль оптической оси системы, формирующей изображение. Мы можем поместить начало координат в центр линзы, а две оси будут параллельны плоскости изображения. Чтобы оси составляли правую тройку, направим ось на изображение.

Теперь фрагмент поверхности можно описать ее перпендикулярным расстоянием — от плоскости линзы (или некоторой параллельной ей условной плоскости). Это расстояние будет зависеть от бокового смещения (рис. 10.10). Следующее, что нам хотелось бы сделать, — это выписать нормаль к поверхности в зависимости от и частных производных по х и у.

Рис. 10.10. Описание поверхности с помощью перпендикулярного расстояния нее от некоторой условной плоскости, параллельной плоскости изображения.

Нормаль к поверхности перпендикулярна всем линиям на касательной плоскости. Следовательно, ее можно найти в виде векторного произведения любых двух (непараллельных) прямых на касательной плоскости (рис. 10.11). Предположим, мы берем небольшое приращение в направлении х из данной точки Изменение можно найти с помощью разложения в ряд Тейлора в виде где содержит члены более высоких порядков. Для первых частных производных по х и используем обозначения и соответственно. Таким образом, — это наклон поверхности в направлении — в направлении у. Связь и с ориентацией фрагмента поверхности представлена на рис. 10.12. Если взять малое приращение расстояния в направлении х, то высота изменится на . Аналогично малое приращение приведет к изменению высоты на

Первое из этих приращений мы можем записать в векторной форме

Рис. 10.11. Параметризация ориентации поверхности первыми частными производными и высоты поверхност и

Рис. 10.12. Параллельность нормали векторному произведению двух любых различных касательных.

как . Таким образом, прямая, параллельная вектору лежит в касательной плоскости в точке Аналогично прямая, параллельная вектору также лежит в касательной плоскости. Нормаль к поверхности можно найти, вычислив векторное произведение этих двух прямых. Нам остается решить, хотим ли мы направить нормаль к наблюдателю или от него. Направляя нормаль к наблюдателю, получим Вектор довольно удачно назван градиентом поверхности, поскольку его компоненты и характеризуют наклон поверхности в направлениях х и у соответственно.

Единичный вектор нормали к поверхности описывается выражением

Мы можем непосредственно вычислить угол между нормалью к поверхности и направлением на линзу при условии, что для рассматриваемой точки расстояние до оптической оси мало по сравнению с расстоянием до координатной плоскости. В этом случае единичный вектор в направлении от объекта к линзе имеет вид так что что можно получить, вычислив скалярное произведение двух единичных векторов.

Как определить положение источников света? Полагая источники удаленными от объекта на расстояние, большее по сравнению с характерным размером объекта, можно определить направление на каждый источник постоянным вектором. Существует ориентация поверхности, соответствующая этому вектору, т. е. поверхность, ориентированная перпендикулярно лучам, приходящим от источника. Если нормаль к этой поверхности имеет координаты то градиент можно использовать для определения направления на источник (если он расположен по ту же сторону объекта, что и наблюдатель). Далее мы будем предполагать, что наблюдатель и источники света расположены достаточно далеко от изображаемых объектов.