11.1.2. Линейные карты отражательной способности

Для начала рассмотрим частный случай. Предположим, что , где — константы (рис. 11.1).

Здесь строго монотонная функция, имеющая обратную функцию (рис. 11.2). Из уравнения освещенности изображения имеем . В данной точке изображения нельзя определить градиент только по измерению яркости, но мы имеем одно уравнение, накладывающее ограничение на его возможные значения.

Наклон поверхности в направлении, образующем угол с осью х, определяется выражением Это производная по направлению. Теперь выберем такое направление (рис. 11.1), что Наклон в этом направлении описывается формулой Таким образом мы можем определить наклон

Рис. 11.1. (см. скан) Простая карта отражательной способности, являющейся линейной комбинацией компонент градиента. Линии постоянной яркости представляют собой параллельные прямые в градиентном пространстве.

в этом направлении. Однако заметим, что мы ничего не знаем о наклоне в перпендикулярном направлении.

Начав в некоторой точке изображения, мы можем сделать маленький шаг , порождающий изменение Таким образом, где

Предположим, что мы начинаем с решения в точке поверхности. Интегрируя дифференциальное уравнение для выведенное выше, получим

Рис. 11.2. Непрерывная и монотонная функция Существует обратная к ней функция, и значения можно восстановить по измерениям яркости

Рис. 11.3. (см. скан) Базовые характеристики, представляющие собой параллельные прямые, если карта отражательной способности является функцией линейной комбинации компонент градиента. Поверхность можно восстановить интегрированием вдоль этих прямых при условии, что вдоль некоторой начальной кривой задано расстояние

где в подынтегральном выражении х и у — линейные функции с, приведенные выше. Таким способом получим профиль поверхности вдоль прямой выделенного направления, определенного выше (одна из прямых линий на рис. 11.3). Этот профиль называется характеристической линией. Конечно, на практике подынтегральное выражение в виде формулы не задается, поэтому необходимо интегрировать численно. Мы не можем определить абсолютное расстояние до поверхности (константу интегрирования), поскольку абсолютное расстояние не влияет на распределение полутонов, влияют лишь изменения дальности. Если нам требуется абсолютное расстояние, необходимо знать величину в одной точке. Однако форму можно восстановить без этой дополнительной информации.

Теперь предположим, что начальная информация задается не в одной точке, а в виде профиля вдоль некоторой кривой, которая нигде не касается выделенного направления (рис. 11.3). Тогда мы можем интегрировать вдоль линий, начинающихся в точках этой начальной кривой. Таким образом, можно построить всю поверхность, если начальная кривая имеет достаточную протяженность. Общий случай, который нам предстоит рассмотреть ниже, аналогичен этому случаю тем, что в нем поверхность определяется интегрированием вдоль особых кривых на изображении. Отличие заключается в том, что в общем случае эти кривые не являются прямыми линиями, определенными заранее.

Рассматриваемый частный случай имеет практическое значение, поскольку, как уже упоминалось, вещество лунных морей имеет отражательные свойства, хорошо аппроксимируемые функцией . В этом случае карта отражательной способности является функцией линейной комбинации и Именно этот вариант задачи восстановления формы по распределению полутонов был первым привлекшим внимание. Здесь для простоты мы используем ортогональную проекцию, однако метод можно обобщить и на центральную проекцию.