Приложение: используемый математический аппарат

Настоящее приложение содержит краткий обзор различных математических приемов, используемых в книге. Начинается оно с формул для решения как плоских, так и сферических треугольников. Затем дается свод приемов для работы с векторами. В него входят методы решения векторных уравнений и правила дифференцирования по векторной и матричной переменным.. Далее рассматривается метод наименьших квадратов применительно к линейным системам. За ним следует краткое изложение двух методов оптимизации (с ограничениями и без них). Заканчивается приложение беглым экскурсом в вариационное исчисление.

П.1. Решение треугольников

Рассмотрим плоский треугольник со сторонами и противолежащими углами А, В, С (рис. П.1, д). Диаметр описанной окружности равен отношению длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла. Поскольку это справедливо для всех трех сторон, имеем . Это хорошо известная теорема синусов. Теорема косинусов описывается формулой Две подобные формулы можно получить одновременной циклической перестановкой сторон с и углов А, В, С. Теорема о проекции утверждает, что (Существует много других полезных соотношений, однако, как правило, мы ограничиваемся тремя приведенными; в случае необходимости из них можно вывести остальные.) Площадь треугольника можно записать в виде

Сферическим треугольником называется фигура на поверхности сферы, три стороны которой представляют собой дуги больших окружностей (рис. П.1, б). Допустим, что углы пересечения этих дуг равняются А, В и С. Длина стороны на единичной сфере измеряется величиной стягиваемого ею центрального угла. Обозначим длины сторон через и с. В случае сферического треугольника теорема синусов выглядит следующим образом:

Теорема косинусов для сторон имеет вид

Рис. П. 1. Плоский (а) и сферический (б) треугольники.

, в то время как теорема косинусов для углов — вид а. В обоих случаях две дополнительные формулы получаются циклической перестановкой с и А, В, С. (Остальные соотношения при желании можно вывести из них.)

Иногда трудно определить квадрант, в котором лежит угол. Тут на помощь приходит правило квадрантов: лежит в том же квадранте, что и Наконец, отметим, что площадь сферического треугольника определяется выражением где — радиус сферы, а величина — сферический избыток (измеряется в радианах).