§ 9. Произвольные системы линейных уравнений

Рассмотрим тейёрь систему линейных уравнений с неизвестными:

где число уравнений не предполагается равным числу неизвестных.

Решением системы (20) называется совокупность значений неизвестных при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной-, система, не имеющая ни одного решения, — несовместной. Система, имеющая единственное решение, называется определенной, система, имеющая более одного решения, — неопределенной.

Рассмотрим две матрицы: матрицу А, составленную из коэффициентов при неизвестных системы (20), и матрицу

получаемую из А добавлением столбца свободных членов и называемую расширенной матрицей, Ясно, что

так как каждый минор матрицы А будет минором и матрицы В, но не наоборот.

Теорема 8 (критерий совместности системы линейных уравнений). Для совместности системы (20) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы В был равен рангу матрицы коэффициентов А.

Доказательство необходимости. Предположим, что система (20) совместна, т. е. что существуют такие числа что

Вычитая из последнего столбца матрицы В первый ее столбец, умноженный на второй, умноженный на наконец, умноженный на мы получим матрицу

ранг которой по теореме об элементарных преобразованиях, равен рангу матрицы

Но ясно также, что так как все ненулевые миноры матрицы С равны соответствующим минорам матрицы А, и обратно, Следовательно,

Доказательство достаточности. Пусть

и предположим, для определенности, что отличный от нуля определитель порядка матрицы А расположен в левом верхнем ее углу:

Тогда первые строк матрицы В линейно независимы а так как ранг ее в точности равён то

остальные строки матрицы В линейно выражаются через первые ее строк. Но это означает, что первые гуравнений системы (20) независимы, а остальные ее уравнений «являются их линейными комбинациями», т. е. просто являются их следствиями. В этом случае система на самом деле состоитлишь из независимых уравнений. Нам достаточно поэтому решить первые уравнений системы; их решения автоматически будут удовлетворять и остальным уравнениям.

Далее возможны два случая:

1. . Тогда систему, состоящую из первых уравнений системы (20)

можно решить, например, по формулам Крамера. В этом случае система имеет единственное решение. Она — совместная и определенная.

2. . Возьмем первые уравнений системы и, оставив в левых частях первые неизвестных, остальные перенесем в правые части:

«Свободным неизвестным» можно придавать какие угодно значения, получая при этом соответствующие значения неизвестных из системы (21). Это — случай совместной, но не определенной системы. Общие формулы решения можно получить, если решить систему (21) относительно например по формулам Крамера.

Этим и завершается доказательство теоремы 8: если то система -совместная (определенная или неопределенная), если то система -несовместна.

Теперь мы в состоянии ответить на вопрос, остававшийся пока открытым: что можно сказать о системе линейных уравнений с неизвестными, определитель которой равен нулю. Для такой системы ранг матрицы коэффициентов так как единственный минор порядка этой матрицы, по условию, равен нулю. Если ранг расширенной матрицы В такой системы тоже равен то система будет совместной, но, поскольку неопределенной; если же ранг матрицы В больше то система несовместна.

Пример. Решить следующие системы уравнений:

Решение. V

1. Здесь система совместная, определенная. Так как

то из первых трех уравнений системы, например по формулам Крамера, находим

2. Здесь система совместная, но не определенная. Определитель

и из первых двух уравнений системы

находим

где неизвестным можно придавать значения.

3. Здесь и система несовместна.