§ 11. Введение координат в аффинном пространстве

В -мерном аффинном пространстве А координаты точек можно ввести следующим образом. Выберем какую-нибудь точку О в качестве начала координат. Тогда для каждого вектора условия 1 определения 11, найдется и притом только одна такая точка X, что Так будет установлено взаимно однозначное соответствие между всеми точками и всеми векторами из А: точке X ставится в соответствие вектор концом которого она является (в обычном трехмерном пространстве это откладывание всех векторов пространства от начала координат).

Далее, в соответствующем А векторном пространстве выберем какой-нибудь Тогда каждый вектор х из А будет определяться строкой своих координат: Эти же координаты мы отнесем и соответствующей вектору х точке X) будем писать в этом случае:

Таким образом, если в -мерном аффинном пространстве Л выбрана система координат (т. е. точка О как начало отсчета и базис в соответствующем А векторном пространстве то каждой точке из А будет однозначно сопоставлена строка из чисел — ее координат. У точки О все кобрдинаты будут равны нулю, так как ей соответствует, очевидно, нулевой вектор 0.

Если аффинного пространства А, то, ввиду равенства, имеем т. е.

координаты вектора равны разностям координат его конца и начала.

Можно показать, что, подобно векторным пространствам, все аффинные пространства одной и той же размерности тоже «устроены одинаково», так что (если зафиксировано основное поле размерность аффинного пространства является его единственной характеристикой. Поэтому -мерное аффинное пространство мы можем обозначать далее просто через