§ 2. Ортонормированный базис

Определение 3. Базис евклидова пространства называется ортогональным, если при

Если, кроме того,

то базис называется ортонормированным.

Лемма. Попарно ортогональные и отличные от нуля векторы линейно независимы.

Доказательство. Пусть векторы попарно ортогональны: при и отличны от нуля. Предположим, что

Умножая обе части этого равенства скалярно на будем иметь

откуда, поскольку при при всех вытекает, что при всех .

Теорема 1. Во всяком евклидовом пространстве имеются ортонормированные базисы.

Доказательство. Пусть — произвольный базис пространства Положим причем а подберем так, чтобы векторы были ортогональны:

откуда

Так как то знаменатель последней дроби отличен от нуля. Ввиду линейной независимости векторов полученный вектор — ненулевой.

Допустим теперь, что попарно ортогональные и отличные от нуля векторы уже найдены. Положим

и подберем числа так, чтобы вектор был ортогонален к Для этого нужно, бы выполнялись равенства

откуда

Знаменатель здесь отличен от нуля, так как все векторы при по предположению, — ненулевые. Так как векторы линейно независимы, то и полученный вектор тоже будет ненулевым.

Это построение мы будем продолжать до тех пор, пока не найдем последнего (ненулевого) вектора

ортогонального всем предыдущим векторам . В силу последней леммы векторы

линейно независимы и, значит, образуют (ортогональный) базис. Если теперь каждый из векторов поделить на его модуль, то получится ортонормированный базис, образованный векторами

Легко видеть, что если первые векторов были попарно ортогональными, то а если они были, кроме, того, единичными, то

Примененный здесь способ получения ортонормированной системы векторов из заданной линейно независимой системы носит название процесса ортогонализации.

Замечание. Если — подпространство и — ортонормированный базис то векторы можно включить в ортонормированный базис всего пространства.

Для доказательства достаточно дополнить до базиса пространства и произвести ортогонализацию полученного множества векторов, начиная с

Пример. Найти ортогональный базис в пространстве многочленов степени не выше 4, определенных на отрезке

Решение. В качестве исходного базиса возьмем

Положим

Далее, положим Имеем откуда и значит, Следовательно,

Пусть Имеем от куда значит, Следовательно,

Положим, наконец, Тогда, поскольку то далее значит, Затем имеем

и

откуда ; наконец, Следовательно,

Полученные многочлены

— это (с точностью до множителей) первые пять из так называемых многочленов Лежандра, играющих важную роль в математической физике.

Найдем выражение скалярного произведения векторов в координатах. Пусть ей — произвольный

базис пространства со скалярным произведением и

Тогда

где независимо друг от друга пробегают значения . Если пространство Я евклидово, а - ортонормированный базис, то при при , значит,

Легко видеть, что, и обратно, если в базисе скалярное произведение векторов

и

равно

то этот базис ортонорм и рованный, так как в этом случае при

Пусть — ортонормированный базис в евклидовом пространстве и Умножив обе части последнего равенства скалярно на получим координата вектора х в ортонормированном базисе равна скалярному произведению х на единичный вектор Это скалярное произведение можно назвать (ортогональной) проекцией вектора х на вектор Таким образом, координат вектора в ортонормированном базисе — это его проекции на базисные векторы.

Пусть и — два -мерных евклидовых пространства. Если в каждом из них выбрать ортонормированный базис в

и поставить в соответствие каждому вектору х из вектор теми же координатами, то, как известно (см. § 5 главы II), сумме элементов из будет отвечать сумма соответствующих элементов из и произведению элемента из на число — произведение соответствующего элемента из на то же число. При этом, если

(и значит,

то скалярное произведение

Таким образом, пространства и устроены одинаково: соответствующие векторы их имеют одинаковые длины а в случае вещественного пространства и углы между парами соответствующих друг другу векторов равны между собой:

Таким образом, евклидовы векторные пространства над одним и тем же полем изоморфны и, как говорят, «изометричны» между собой, т. е. обладают в некотором смысле одинаковыми метриками; следовательно, единственной характеристикой евклидова пространства над данным полем является его размерность.